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,第一章,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,第四节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于有限值时函数的极限,本节内容:,机动目录上页下页返回结束,函数的极限,定义1.,则,机动目录上页下页返回结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,例1.证明,注:,例2,定义2.,当,时,有,或,机动目录上页下页返回结束,那么,二、自变量趋向有限值时函数的极限,定义3-4.左（右）极限！,左极限:,当,时,有,右极限:,当,时,有,结论：,(P38题8),机动目录上页下页返回结束,例3.证明,机动目录上页下页返回结束,例4.证明,例5.证明,例6.证明:当,二、函数收敛的性质,机动目录上页下页返回结束,类似数列极限的性质有：性质1：极限惟一性。见定理1.12性质2：局部有界性。见定理1.13性质3：局部保序性。见定理1.14推论1：逆否命题推论2：g(x)为常数函数。性质4：极限均存在，可四则运算。见定理1.15,机动目录上页下页返回结束,性质5：复合函数的极限。见定理1.16例如：f(x)=sinsinsinx,当x趋于0.性质6：函数极限与数列极限的关系.见定理1.17例如：f(n)=sin1/n,当n趋于无穷！Question：如何判断函数的极限不存在？方法：运用2个推论（见书p45）,的不同数列,法1找一个数列,且,使,法2找两个趋于,及,使,不存在.,机动目录上页下页返回结束,例题可见：书上例13。,1、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,三、极限存在准则及两个重要极限,机动目录上页下页返回结束,第一章,2、二个重要极限,1.函数极限存在的两边夹（夹逼）准则（见定理1.18与定理1.19）,定理.,且,(利用定理1及数列的夹逼准则可证),机动目录上页下页返回结束,圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,注,注目录上页下页返回结束,2.,证:当,时,设,则,机动目录上页下页返回结束,2.两个重要极限,或,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:,例3.求,解:令,则,因此,原式,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:原式=,说明:计算可利用,机动目录上页下页返回结束,例5.求,解:令,则,说明：若利用,机动目录上页下页返回结束,则,原式,例6.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,判别法2：柯西收敛准则！见定理1.20（自学）,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,填空题(14),第七节目录上页下页返回结束,和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)
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