D14无穷小量与无穷大量

,第一章,二、无穷小的等价代换,三、无穷大量,一、无穷小量及其阶,第四节,无穷小量与无穷大量,当,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量,简称无穷小.,时为无穷小.,一、无穷小量及其阶,定义1.若,时,函数,则称函数,为,时的无穷小量,简称无穷小.,以零为极限的数列也是当n时的无穷小,定义1.若,时,函数,则称函数,为,时的无穷小量,简称无穷小.,说明:,除0以外任何很小的常数都不是无穷小!,因为,当,时,显然C只能是0!,C,C,注意:函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关!,其中(x)为一个无穷小,定理1.(无穷小与函数极限的关系),证:,仅就的情形证明,其他情形类似.,必要性设,则,令,则,其中(x)是当的,无穷小,并且,充分性设,(x)是当的无穷小,则,(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;,定理2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:,证:,由已知,f在x0处是局部有界的,故,(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;,恒有,从而,故,所以(x)f(x)是当时的无穷小.,(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;,(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;,定理2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:,设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且(x)0.,定义2(无穷小的阶).,则称(x)是(x)的高阶无穷小,记作,(或当(x)0时,称(x)是(x)的低阶无穷小),且c0为常数,称(x)与(x)是同阶无穷小;,则称(x)与(x)是等价无穷小,记作,则称(x)是关于(x)的k阶无穷小,特别取(x)=x-x0,若则称(x)是当xx0时的k阶无穷小.,例1.当x0时,试比较下列无穷小的阶:,解:,解:,解:,解:,由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为:当x0时,注意:并非每个无穷小都有阶数,比如当x0时,例2.证明:当,时,证:,证明提示:,二、无穷小的等价代换,定理4.设(x)与(x),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若并且,则,并且,例3.利用无穷小等价代换定理求以下极限,解:因为,所以,(2),解:,原式,注意:应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换.,(3),解:,三、无穷大量(绝对值无限趋大的变量),若在定义中改为,则记作,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,但,不是无穷大!,例4.证明,证:任给正数M,要使,即,只要取,则对满足,的一切x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,铅直渐近线,说明:,若,则称直线,为曲线,的水平渐近线.如下图,据此定理(1),关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.,定理5.在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:,说明:,(1),有限个无穷大量的乘积是无穷大量;,(3)无穷大量与有界量之和是无穷大量.,两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.,注意:,大O记号,设函数f(x)与g(x)定义在x0的