CH10-3一阶微分方程在经济中的应用

1,第十章微分方程与差分方程10.1微分方程的基本概念10.2一阶微分方程10.3一阶微分方程在经济学中的综合应用10.4可降阶的二阶微分方程10.5二阶常系数线性微分方程10.6差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构10.7一阶常系数线性差分方程10.8二阶常系数线性差分方程10.9差分方程的简单经济应用,2,第二节一阶微分方程,3,可分离变量的微分方程的解法,分离变量,两边积分，得,则,如果,注：,方程的通解,必须予以补上。,在分离变量时，解,可能它不包含在,4,解:当y0时分离变量得,另外y=0也是原微分方程的解，因此通解为,(B为任意常数).,例求方程,的特解.,满足初始条件,解分离变量,得,两边积分，得,于是原方程的通解为,又将初始条件,故满足初始条件的特解为,代入通解中,得,6,第二节一阶微分方程,7,二、齐次微分方程,形如,的方程叫做齐次微分方程.,例如，,都是齐次微分方程.,8,令,解法:,代入原方程得,可分离变量的方程,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,分离变量:,9,如果,有实根,那末,（i=1，2，k）也为方程的解。,10,例求解方程,解将方程改写为,令得,（1）,若,分离变量，得,积分得（1）的通解,即,(c是任意常数),(2),此外，方程(1)还有解,11,代回原来的变量，得原方程的通解为,及解,。,12,第二节一阶微分方程,13,如果方程,及,的一次有理整式，,则称其为n阶线性微分方程.,的左端为,14,一阶线性微分方程标准形式:,若,若,称为非齐次线性微分方程.,称为齐次线性微分方程;,考察下列方程是否线性方程？,线性的;,非线性的.,15,齐次方程的通解为,分离变量,积分,猜想：非齐次微分方程的解应该具有形式,16,通解,代入原式,解出,常数变易法,17,例5解方程,解1:先解,即,积分得,即,用常数变易法把C换成u(x)，即令,则,代入非齐次方程得u=(x+1)1/2,解得,故原方程通解为,18,例5解方程,解2:公式法,由通解公式得,19,解：,例,20,第二节一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程2、齐次方程3、一阶线性微分方程4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性,21,自然哲学的数学原理牛顿（1687）,在本书中，牛顿提出万有引力定律，然后用数学的形式常微分方程推出了开普勒定律，完成了日心地动说的力学解释，也同时开始了以常微分方程为对象的动力系统的研究.,22,分析：令f(x)=0，解得x=x0是该微分方程的解.,定义：若f(x0)=0，则x=x0是其平衡解.其图象为一条水平直线.,例7：,例8：,它们的平衡解分别是,23,例7：,（1）它的平衡解是L=A.（2）此初值问题的特解是？,解：由分离变量法得方程的通解为,特解为,稳定的平衡解定义P383,24,例8：,它的平衡解是B=10.,不稳定的平衡解定义P383,初始值的极微小的扰动而会造成系统巨大变化.,蝴蝶效应TheButterflyEffect,25,例Lorenz方程（1963）,蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。气象学家洛伦兹（Lorenz）在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报。为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的方程组，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。因为当时的计算机运行速度比较慢，所以他在计算的时候离开了一会。而当他穿过大厅，到咖啡馆喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，计算结果却偏离了十万八千里！后来洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。,26,一只蝴蝶在纽约中央公园的小黄花上扇动了一下翅膀，于是东京掀起风暴电闪雷鸣也许人的一生就会被当年一点点不经意间细枝末节改变，从此走上不同岔口不能回头微分方程中说这叫蝴蝶效应，你相信吗？,27,作业P384,1，2（偶数），3（奇数），4（偶数），6，7,28,第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用,一、需求量（供给量）与价格的关系二、预测可再生资源的产量三、成本分析四、公司的净资产分析,29,例1,解,（1）由需求的价格弹性公式得,分离变量解微分方程得,30,解,（1）由需求的价格弹性公式得,分离变量解微分方程得,例1,（2）,（3）,例已知需求价格弹性为-1/Q2,且当Q=0时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系p=f(Q).,解由需求价格弹性的定义,有,这是变量可分离的方程,移项化简，得,两边积分,得,即,又将初始条件Q=0时,p=100代入上式,得c1=100,故需求函数为,32,例3某林区实行封山养林，现有木材10万立方米，如果在每一时刻t木材的变化率与当时木材数成正比(比例常数为k0)。假设10年时这林区的木材为20万立方米。若规定，该林区的木材量达到40万立方米时才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐。,二、预测可再生资源的产量，预测商品的销售量,解若时间t以年为单位，假设任一时刻t木材的数量为p(t)万立方米，由题意可知,微分方程（1）的通解为将条件（2）带入得特解为,要使p=40，则t=20.故至少20年后才能砍伐.,指数增长与指数衰减方程,33,N(t)时刻t的人口数量,基本假设:人口净增长率r（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数。,马尔萨斯人口模型英国人口学家Malthus(1766-1834）于1798年提出.,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,34,解:当y0时分离变量得,另外y=0也是原微分方程的解，因此通解为,(B为任意常数).,35,三、成本分析,例5某商场的销售成本y和存储费用S均是时间t的函数，随时间t的增长，销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和，而存储费用的变化率为存储费用的（-1/3）倍.若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10，试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系。,解：由已知,解（5）得,故存储费用与时间t的函数关系是：,将S代入（4）式得,故销售成本与时间t的函数关系是：,36,一个公司的资产运营可以被看作有两个方面的作用。一方面，它的资产可以象银行存款一样获得利息（盈取），另一方面还要用于发放职工工资。用W0表示该公司的初始资产，若用W表示t时某公司的净资产，则,四、公司的净资产分析,净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率工资支付速率,37,例6某公司t年净资产有W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资.（1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）根据：净资产的增长速率=利息盈取（增长）的速率工资支付速率,这就是该公司的净资产W所满足的微分方程。,38,例6某公司t年净资产有W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资.（1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）,（2）分离变量,所以，该公司净资产表达式为：,39,例6某公司t年净资产有W（t）（单位：百万元），并且资产以每年5%的速度增长,同时该公司每年要以200百万元的数额连续支付职工工资.（1）给出描述净资产W（t）的微分方程；（2）假设初始净资产为W0，求解方程；（3）当W0=3000，4000，5000三种情况下W（t）的变化特点。,解（1）,（2）（3）若W0=4000，则W=4000为平衡解.,公司净资产将不断增长,公司净资产将不断减少,40,P3915某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0).现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼.,练习,大作业某商品的供给函数需求函数其中p(t)表示时刻t时该商品的价格(P(0)=8).试把市场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义.,41,P3915某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0).现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。,解若时间t以月为单位，由题意可知（1）,先解（1）式：,42,P3915某养鱼池最多养1000条鱼，鱼数y是时间t的函数，且鱼数变化率与y和1000-y的乘积成正比(比例常数为k0).现知养鱼100条，3个月后变成250条，求函数y(t)以及6个月后鱼池里有多少鱼。,解若时间t以月为单位，由题意可知（1）,先解（1）式得将条件（2）代入得,43,大作业某商品的供给函数需求函数其中P(t)表示时刻t时该商品的价格(P(0)=8).试把市场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义.,代入P(0)=8得C=12.因此市场均衡价格表示成关于时间的函数为,说明市场对于这种商品的价格稳定，且可以随着时间的推移，此商品的价格逐渐趋向于20.,44,作业P3911,3,5,五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题,由假设，时刻t的储蓄全