D82二重积分的计算

*四、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第八章,三、特殊形式二重积分的计算,基本要求,2、掌握二重积分在极坐标下的计算方法；,1、掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法；,3、掌握二重积分交换积分次序的方法；,4、掌握特殊形式下二重积分的计算方法.,上页下页,（1）X型区域,穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点,特点：,一积分区域的类型,不多于两点.,上页下页,（2）Y型区域,穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点,特点：,不多于两点.,上页下页,（3）D既不是X型又不是Y型区域,在分割后的三个区域上利用积分性质3，得,则必须分割D成X型或Y型区域（如图）,上页下页,回顾（上p105）平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积为,平面之间,a,b,x,1、计算公式,二利用直角坐标计算二重积分,A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积,且,连续,则,上页下页,所得截面为曲边梯形，如下图：,下面用几何观点来讨论二重积分的计算问题:,设D为X-型区域,应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法：,作法：,作平行于yoz面的平面,平面截曲顶柱体,当时,表示以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,上页下页,曲边梯形的面积为,曲顶柱体的体积为,上页下页,上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分(或称,先对y后对x的二次积分通常记作,即先固定x(x看作常数),把只看作y的函数,并对y求定积分.,上的定积分.,累次积分).,然后将算得的结果再对x计算在区间,上页下页,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,上页下页,同理,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,上页下页,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择或交换积分次序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,上页下页,注意:计算二重积分时,选择积分次序是至关重要的.,2、二重积分计算的一般步骤:,第一步画出积分区域D的草图,求出D的边界曲线的交点坐标;,第二步选择积分次序;,第三步确定积分限;,定限口诀为：,后积先定限;限内划条线;,先交下限写;后交上限见.,第四步计算二次积分.,上页下页,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,上页下页,例2.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,上页下页,例3.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,(几个常见积分),上页下页,交换二次积分的积分次序一般步骤为：,第一步由所给的二次积分的上、下限写出表示积分区域D的联立不等式；,第二步根据表示D的不等式组画出D的草图；,第三步根据新的积分次序,由D的图形确定积分限,写出新的二次积分.,三交换积分次序,上页下页,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,上页下页,练习.求积分,其中,上页下页,解这事实上是二次积分.因,的原函数不是初等,函数,即,不能用初等函数表示出来,故,不能先对y积分,应交换积分次序.,对应有,8.2.2利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆r=常数,边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D为,则除包含,上页下页,即,上页下页,极坐标系下的面积微元为,例5.化二次积分为极坐标系,下的二次积分.,上页下页,解本题解题步骤与直角坐标系下交换积分次序的步,骤相同.,的不等式表示为:,在极坐标系下:,D,于是有,又,上页下页,1、极点O在D的外部,二、极坐标系下的二重积分的计算,上页下页,上页下页,2、极点O在D的内部,3、极点O在D的边界上,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),上页下页,例6.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,上页下页,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D为R2时,利用例6的结果,得,故式成立.,上页下页,练习.1计算,其中D是由,围成的位于第一象限的闭区域.,2计算,其中D为,上页下页,上页下页,1.解画出D的图形.,分别为,在极坐标系下,圆的方程,从而在极坐标系下,有,于是,2解画出积分区域D的图形.,转换成极坐标,有,上页下页,三特殊形式二重积分的计算(P.186),上页下页,1.被积函数为分段函数,分区域积分,解令,2.被积函数中含有绝对值符号,将积分区域D分为几个子区域,使被积函数在各子区域内保持确定的符号,以消除被积函数中的绝对值符号,再在各子区域内积分.,计算方法:,计算,令,由曲线,上页下页,例8计算,其中,故,因为,上页下页,又,故,于是,上页下页,3.利用对称性计算二重积分,对二重积分有下列对称性质:,(1)积分区域D关于x轴对称，f(x,y)是y的奇或偶函数，,则,上页下页,(2)积分区域D关于y轴对称，f(x,y)是x的奇或偶函数，,则,上页下页,在第一象限部分,则有,(3)积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x、y的奇或偶函数，则,(4)积分区域D关于直线y=x对称，则,上页下页,和,所围成的平面区域.,于是,上页下页,所围区域,于是,又,所以,上页下页,在第象限中的部分,函数的奇偶性有:,则由积分区域的对称性和被积,上页下页,为D,例10.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,上页下页,定积分换元法,*四、二重积分的换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,上页下页,面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,上页下页,例11.计算,其中D是x轴y轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,上页下页,例12.计算由,所围成的闭区域D的面积S.,解:令,则,上页下页,例13.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D的原象为,的体积V.,上页下页,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,上页下页,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,上页下页,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫