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,常系数非齐次线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,第九节,一、,二、,第十二章,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动目录上页下页返回结束,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Q(x)为m次待定系数多项式,机动目录上页下页返回结束,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,机动目录上页下页返回结束,例1.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,二、,第二步求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步将f(x)转化为,第三步利用叠加原理求出原方程的特解,第四步分析原方程特解的特点,机动目录上页下页返回结束,第一步,利用欧拉公式将f(x)变形,机动目录上页下页返回结束,第二步求如下两方程的特解,是特征方程的k重根(k=0,1),故,等式两边取共轭:,为方程的特解.,设,则有,特解:,机动目录上页下页返回结束,第三步求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为m次多项式.,机动目录上页下页返回结束,第四步分析,因,均为m次实,多项式.,本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束,小结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),机动目录上页下页返回结束,例3.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,机动目录上页下页返回结束,例4.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,机动目录上页下页返回结束,内容小结,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1.(填空)设,机动目录上页下页返回结束,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解:特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解:将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解
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