线性代数-课程学习必备的教材

线性代数专题课,一、重点和难点,行列式的性质及其计算矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组齐次、非齐次线性方程组解的结构用正交变换化二次型为标准型,二、行列式,1n阶行列式的定义,2n阶行列式的性质,3行列式按行和列展开,4Cramer法则,5行列式的求法,1）、定义法,2）、展开法,3）、加边法,4）、拆分法,5）、递推法,6）、三角法,7）、Laplace展开定理,9）、综合法,8）、Vandermonde行列式,10）、降阶法（略）,11）、定义证明,证明,12）、数学归纳法,三、矩阵,1、矩阵的定义,注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.,2、几种特殊的矩阵,零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形,3、矩阵的运算,行列式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.,）、伴随矩阵,记作,4、逆矩阵的概念和性质,5、矩阵的分块及运算规则,分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.,1）,2）,3）若,则有,若，则有,分块对角矩阵的性质：,4）若,则,均为可逆方阵.,5）若,则,6、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）,等价关系的性质：反身性、对称性、传递性.,2）、初等矩阵的概念,、对调,、数乘,、倍加,定义,所有与等价的矩阵的集合称为一个等价类.,8、初等矩阵的应用,矩阵方程,解,9、方阵的特征值与特征向量,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征向量，特征值问题只针对于方阵；,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,定义,称以为未知数的一元次方程,为的特征方程,定义,称以为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定理,设阶方阵的特征值为,则,的特征值与特征向量的求法,(1)由特征方程,求出矩阵的全部特征值,1,2,n，其中r重根对应的r个数值相同的特征根。,(2)把特征值代入(I-)X=0，求其特征向量。,10、矩阵相似对角化,1）定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换，,对进行运算,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,2）矩阵相似对角化,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,的主对角线上的元素就是的全部特征值；,是的个线性无关的特征向量。,四、维向量空间,）、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.,记作,维向量写成一行称为行向量，,记作,维向量写成一列称为列向量，,）、几种特殊向量,实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.,注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,）、矩阵与向量的关系,、维向量,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,）、向量组,）、向量空间,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合为向量空间.,）、向量的运算,向量的运算采用与矩阵相同的运算规律.,2、向量的线性相关性,1）、基本概念,定义给定向量组,，对于任何一组数,，称向量,为向量组的,一个线性组合（LinearCombination）.,为组合的组合系数(CombinationCoefficient).,定义设向量组,及向量有关系,则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组,线性表示（LinearExpression）.,称为在该线性组合下的组合系数.,定义设两向量组,若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，,则称向量组可以由向量组线性表示.,若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,定义设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关(LinearDependent).,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关(LinearIndependent).,即存在矩阵,3、向量组的秩,)、极大线性无关组,线性相关.,若满足：,设是一个向量组，它的某一个部分组,)、向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作：()或,线性无关；,则称为的一个极大线性无关组.,)、向量组的秩与矩阵的秩的关系,定义,矩阵,的列向量组的秩称为列秩，记为：,的行向量组的秩称为行秩，记为：,定理,结论,，则所在行（列）向量组线性无关.,，则的任行（列）向量组线性相关.,，且含有的，则.,定理,有相同的线性关系.,相同的线性关系是指：,已知维列向量组,向量组,线性表示，且表达式的系数对应相同.,4、向量空间,1)定义,线性相关.,若满足：,设是一个向量空间，它的某个向量,中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，,记作：dim.,线性无关；,则称为的一个基.称为的维数.,且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.,2)向量空间的坐标,设为向量空间的一个基，则任取，可唯一地表示为,=x11+x22+xrr,=,3）坐标变换,对任意向量V，设在两组基下坐标分别为X和Y，即,=12rY,则,X=CY,定理3.9,设向量空间V的一组基1,2,r到另一组基,1,2,r的过渡矩阵为C。且V中一个向量在两组基下的坐标分别为X和Y，则,X=CY,坐标变换公示,5、欧式空间Rn,1）、内积,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,2）、长度,令,为维向量,的长度（模或范数）.,3)、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,4)、正交向量组,5)、施密特（Schmidt）正交化法,向量空间的基标准正交化.,非奇次线性方程有解.,的极大线性无关组.,向量组可由线性表示，则,若，则线性相关.,线性无关，则.,()().,等价向量组必有同秩（反之则不然）,存在矩阵,定理,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,定理,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关，则向量组也线性无关.,定理,设向量组,若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若,向量组线性相关，则向量组也线性相关.,其中,设元线性方程组的系数矩阵为，增广,）线性方程组有唯一解,矩阵为，则,）线性方程组有无穷解,）线性方程组无解,五、线性方程组,1、线性方程组的解,定义4.2对线性方程组施行的下列三种变换,(1)交换两个方程的位置,(2)用一个非零数乘某一个方程,(3)把某个方程的若干倍加到另外一个方程上。,称为线性方程组的初等变换。,用三种初等变换将一个线性方程组化成增广矩阵是阶梯型的线性方程组的过程称为Gauss消元法。,A|b,C|d(行阶梯型或行标准型),行初等变换,2、Gauss消元法,3、齐次线性方程组的解,1）、基础解系,基础解系，则方程组的通解可表示为：,方程组的解空间中，它的某一个部分组,线性相关.,线性无关；,则称为齐次线性方程组的一组基础解系.,满足：,如果为齐次线性方程组的,其中为任意实数.,定理,元齐次线性方程组的全体解所构成的,集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空,间的维数为-.,当时，线性方程组必有含-个向量的基,解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）,当时，线性方程组只有零解，故没有基础,础解系，此时线性方程组的解可以表示为,其中为任意实数，解空间可以表示为,2）、基础解系的求法,、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形,、得出，同时也可知方程组的一个基础解,系含有个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,就为方程组的通解.,其中为其导出组的通解，,4、非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组的通解为,为非齐次线性方程组的任意一个特解.,线性方程组有解，则以下命题等价：,六、元二次型,1、二次型定义,的二次齐次多项式,含有个变量,称为二次型,或记为,、二次型的矩阵表示,则二次型,其中矩阵为对称矩阵.,定义1,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形或法式,定义2,特别地，称,为二次型的规范形,3、二次型的标准形,4、矩阵的合同,1）定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得,则称合同于,记为,反身性,对称性,传递性,2）性质,合同矩阵具有相同的秩.,与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.,等价,5、化二次型为标准形的方法有,拉格朗日配方法行列对称初等变换正交变换法,P1TAP表示对A作一次列初等变换的同时还必须对A作一次同类型行初等变换，即对A作行列对称初等变换。,6、行列对称初等变换,设对称矩阵A可由可逆矩阵P合同于对角矩阵，即,7、用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,8、正定二次型,1）定义6.8设n元实二次型f(x1,x2,xn)=XTAX，如果对任意0xRn，都有f(x1,x2,xn)=XTAX0，则称f(x1,x2,xn)为正定二次型。称二次型矩阵A为正定矩阵.,2）定理6.11n元实二次型正定的充要条件是它的正惯性指数等于n。,3）定理6.12n元实二次型f(x1,x2,xn)=XTAX正定的充要条件是A的全部