导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.ppt

1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次),导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)3会利用导数解决某些实际问题,理要点一、函数的单调性与导数1函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系：(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数,f(x)0,f(x)0或f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？,提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,2导数为0的点一定是极值点吗？,提示：不一定如f(x)x3，f(0)0.但f(x)3x20，则f(x)x3在(，)上是增函数，故x0不是f(x)x3的极值点,3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？,提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,题组自测,答案：B,3已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由,(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立,(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数,在题3条件下，试讨论函数f(x)的单调区间,解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令f(x)0，得20，即当x(，2)或x(0，)时，函数f(x)单调递减(2)当a0时，f(x)x2(a2)xaex.令g(x)x2(a2)xa.(a2)24aa240，g(x)有两个零点,归纳领悟求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性,题组自测,1设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b)B(a，c)C(b，c)D(ab，c),答案：A,2(2010安徽高考)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值,3已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)(2，)；由f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值；当a1或a3时，f(x)无极值,归纳领悟求可导函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的根；(4)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,题组自测1函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值是_，最小值是_,解析：f(x)6x26x12，令f(x)0，即6x26x120，则x1或x2.又x0,3，故x1应舍去当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：,f(x)max5，f(x)min15.,答案：515,2已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正实数a，b使得f(x)在区间2,1上的最大值是5，最小值是11？若存在，求出a，b的值及相应函数f(x)；若不存在，请说明理由,因此f(0)必为最大值，f(0)5，得b5，f(2)16a5，f(1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，f(x)x32x25.,已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值,归纳领悟求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,答案：C,2面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是_,归纳领悟利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，根据实际意义确定定义域；2求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；3比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；4还原到原实际问题中作答,一、把脉考情从近两年的高考试题来看，对导数的考查表现在以下几个方面：(1)导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等，出现率较高(2)应用问题，利用导数来解决一些实际问题(3)综合考查，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的