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,变化率及导数,1,导数的计算,2,导数在研究函数中的应用,3,生活中优化问题举例,4,定积分的概念,5,第一章导数及其应用,1.1变化率及导数,问题1气球膨胀率很多人都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢？,？,想一想,如何描述呢?,若将半径r表示为体积V的函数,那么：当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：,我们知道，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是：,气球的平均膨胀率为：,可以看出：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了：,气球的平均膨胀率为：,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,思考？,问题2高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0t0.5这段时间里,在1t2这段时间里,计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,探究,1.1.1平均变化率,定义：式子称为函数从到的平均变化率.令则平均变化率可表示为：注：并不是表示与的乘积也是一样,理解,1，式子中、的值可正、可负，但的值不能为,的值可以为2，若函数为常函数时，3,变式,为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?,探索？,观察的图像平均变化率表示什么？,O,A,B,x,y,x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),直线AB的斜率,若无限接近，此时平均变化率又表示什么又表示什么？,1、已知函数的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点,则=（）A3BCD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。,做两个题吧！,求平均变化率一般步骤,求函数的增量计算平均变化率,1.1.2导数的概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求瞬时速度呢?,平均变化率的几何意义,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,平均变化率的几何意义,当t=0.001时,观察,从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是13.1.,为了表述方便我们用表示当t=2,注：确定值-13.1，我们称是,探究,1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？2、,导数的定义,一般地，函数y=f(x)在时瞬时变化率是：我们称它为函数即：,注解：,关于导数的几点说明：,由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2.求平均变化率3.求值,一差、二化、三极限,例题,将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第h时,原油的温度（单位：）为(0x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解：在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以，,同理可得,在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.,GETTINGHIGHER,GAP,练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.,如果质点A按规律则在t=3s时的瞬时速度为A.6B.18C.54D.81,课堂练习,1.1.3导数的几何意义,观察,分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？想一想，算一算！,导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率。练习：求：,结论,我得好好想想,1.2导数的计算,1.2.1几个常用函数的导数其中c为常数,所以，,它在时刻时的速度为某物体作变速直线运动，函数，则可以解释为若表示路程关于时间的,这个函数又如何描述呢？,1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则,我要想法记住这些！,导数的运算法则,1、2、3、,例题,导数运算法则推广,函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差),例题,分析这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用函数加减的求导法则进行求导,例题,1.2.3复合函数求导,1、引例,(1)求的导数,解1,解2因为,所以,解1是错误的。,因为是基本初等函数，而是复合函数。,思考：(2)求y=lnsinx的导数?,2、复合函数定义,设而为关于的函数且函数的值域包含在的定义域内，那么通过的联系也是自变量的函数，我们称为的复合函数，记为,其中称为中间变量,3、复合函数求导法则,例题,例1、求的导数。例2、求的导数。解：,小标注,1.3导数在研究函数中的应用,1.3.1函数的单调性与导数,右图（1）表示跳水运动员高度h随时间t变化的函数的图像，（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数图像思考？运动员从起点跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?,观察,通过观察图像可以发现：,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.,可以发现上面四幅图有一个共同特征：,实际上上述特征适合所有函数，它是所有函数特征。（函数必须存在导函数）,在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.,如果在某个区间内，那么函数有什么特征？,例题,题1已知导函数的下列信息:,当1x4,或x1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.,例题,题1已知导函数的下列信息:解：函数图像如右：,当1x4,或x1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.,例题,题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解：（1）因为所以（2）因为所以,因此,函数在上单调递增.,当,即时,函数单调递增;当，即时，函数单调递增,例题,题2判断下列函数的单调性,并求出单调区间：,题3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快。,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.,如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.,求可导函数单调区间的步骤：,(1)求(2)解不等式(或)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）,证明可导函数在(a,b)内的单调性的方法：(1)求(2)确认在(a,b)内的符号(3)作出结论,1.3.2函数的极值与导数,问题情境,观察右下图为函数的图象,问题1：函数在的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？,我们说是函数的一个极大值；,问题2：函数在的函数值与它附近所有各点的函数值的关系？,我们说是函数的一个极小值。,B,A,2,1、定义函数极值（extremevalue）,一般地，设函数在及其附近有定义如果的值比附近所有各点的函数值都大，则称是函数的一个极大值如果的值比附近所有各点的函数值都小，则称是函数的一个极小值,B,2,A,注：-极值点-极值点,2、探索思考：,函数在哪些点取得极大值？哪些点取得极小值？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的符号有什么规律？函数的极大值一定大于极小值吗?,例题,求的极值解:,由解得.当变化时,、的变化情况如下表：,+,极大值28/3,当时,极小值=28/3；当时,极大值=-4/3.,求函数极值步骤：,1、求导数2、解方程3、列表：4、结论：,1):如果在附近的左侧右侧,那么是极大值;,2):如果在附近的左侧右侧,那么f(x0)是极小值.,探索思考:,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.,1.3.3函数的最大（小）值与导数,上一小节问题：函数的极大值一定大于极小值吗?如又下图：极大值：极小值：但：由此可见：极大值未必就比极小值大。,问题回顾,1.3.3函数的最大（小）值与导数,我们知道，极值反映的是局部性质，而不是函数在整个定义域的性质，函数极值是反映了在某一段的性质，在这一段上是最大（小）值，但在实际问题中，我们更关心的是整个定义域上的最大（小）值。那么如何来求在定义域上的最大（小）值呢？,疑问,？,最值求法,定义：函数在某一闭区间的最大值、最小值统称为最值。,最值求法,由以上两图可知，一个函数的最值有可能在极值点处取得，也有可能在端点处取得。一般地，求函数在内的最值步骤如下：1、求函数内的极值2、求端点值3、比较极值与端点值，最大的就是最大值，最小的就是最小值,例题,求函数在上的最值。解：1、令2、3、,1.4生活中优化问题举例,例1海报版面尺寸的设计,学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，先让你设计一张如图所示的竖向张贴海报，需要版心面积为128，上下两边各空2，左右各空1，如何设计海报尺寸才能使四周空白面积最小？解：设版心高为：，则版心宽为:此时四周空白面积为：求导：，令,例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响,（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售的饮料，制造商获利0.2分,且制造商制作的瓶子的最大半径为.问题()瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？()瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？,例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响,解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响,当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低,1.半径为cm时，利润最小，这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值,半径为cm时，利润最大,例2饮料瓶大小对饮料公司利润影响,注:如果不用导数工具,直接从函数的图象上观察,你有什么发现?（见下图）,例3磁盘的最大存储量问题,（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？（2）你知道磁盘的结构吗？（3）如何使一个圆环状的磁盘尽可能多的信息？为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了说明数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数,例3磁盘的最大存储量问题,现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是介于r与R之间的环形区域（如图）（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时？，磁盘具有最大存储量，（最外面的磁道不存储任何信息）,例3磁盘的最大存储量问题,总结,有上述例子不难发现，解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,优化问题的答案,用导数解决数学问题,上述解决优化问题的过程中实际上是一个典型的数学建模过程。,1.5定积分的概念,1.5.1曲边梯形的面积,问题的提出求曲边梯形的面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，总矩形面积就越接近曲边梯形面积。,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,1.5.2汽车行驶的路程,问题的提出