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文档简介

-,1,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,-,2,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列为单调增加数列.,-,3,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,-,4,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,-,5,-,6,解,由图可知,-,7,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,-,8,证明,-,9,4.比较审敛法的极限形式:,-,10,证明,由比较审敛法的推论,得证.,-,11,解,根据比较审敛法的极限形式知,原级数发散.,-,12,故原级数收敛.,-,13,证明,-,14,收敛,发散,-,15,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,-,16,-,17,解,-,18,比值审敛法失效,改用比较审敛法,-,19,例.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,-,20,级数收敛.,解,级数收敛.,-,21,-,22,解,根据极限审敛法知,根据极限审敛法知收敛.,-,23,二、交错级数及其审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,-,24,证明,-,25,满足收敛的两个条件,定理证毕.,-,26,解:,-,27,(2),原级数收敛.,-,28,三、绝对收敛与条件收敛,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,-,29,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,证明,-,30,例9.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,-,31,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,-,32,解,故知原级数发散.,例10.判定级数的收敛性:,-,33,其和分别为,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,*定理9.(绝对收敛级数的乘法),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,但需注意条件收敛级数不具有这两条性质.,-,34,四、小结,-,35,思考题,-,36,思考题解答,由比较审敛法知收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,-,37,练习题,-,38,-,39,-,40,练习题答案,-,41,备用题,1.判别级数的敛散性:,解:(1),发散,故原级数发散.,不是p级数,(2),发散,故原级数发散.,-,42,2.,则级数
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