点估计的评价标准概率论与数理统计习题和历史上最好的概率论与数理统计PPT课件

6.2点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,估计量。若对于任意的，当n时,定义设是总体参数的,则称,是总体参数的相合估计量。,依概率收敛于,即,相合估计量仅在样本容量n足够大，才显示其优越性。,相合性,关于相合性的常用结论,样本k阶矩是总体k阶矩的相合估计。,由大数定律证明,矩法得到的估计量一般为相合估计量,在一定条件下,极大似然估计具有相合性,定理1设,为,的一个估计量。如果,则,为,的相合估计。,例1,为常数,则是的相合估计。,证明：经过简单计算可得,于是,所以是的相合估计量，证毕。,证明,由大数定律知,例2,由大数定律知,例4设是来自均匀总体U（0，）的样本，证明的极大似然估计是相合估计。,证明在前面我们已经给出的极大似然估计是x（n）。由次序统计量的分布，我们知道的分布密度为。,故有,由定理1可知x（n）是的相合估计。,定理2若分别是的相合估计，是连续函数，则有是的相合估计。,又由的相合性，对给定的，对任意的存在正整数N，使得时,证明由函数的连续性，对任意给定的，存在一个，当,时有，,从而有,由的任意性，定理得证。,根据上述的式子，,故有,例5设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别是，现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1，n2，n3，可以采用频率替换方法估计。由于可以有三个不同的的表达式：从而可以给出的三种不同的频率替换估计，分别是。分别是p1，p2，p3相合估计。,定义设是总体X的样本,是总体参数的估计量,则称,是的无偏估计量，否则称为有偏估计。,无偏性,证,因而,由于,特别地,样本二阶原点矩,是总体二阶,的无偏估计量。,原点矩,是总体期望E(X)的无偏估计量,样本均值,例2设总体X的期望E(X)与方差D(X)存在,是X的一个样本,n1，,(1)不是D(X)的无偏估计量;,(2)是D(X)的无偏估计量。,证,前已证,证明：,因而,故证毕。,例3设总体X的密度函数为,为常数,为X的一个样本。,证明,与,都是,的无偏,估计量，,证,令,即,故nZ是的无偏估计量。,证,例4,都是总体参数的无偏估计量,有效性,且至少有一个使得上述不等号严格成立,是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,为常数,解,(1)设常数,(2),证:(1),利用柯西不等式,有,例如XN(,2),(X1,X2)是一样本。,都是的无偏估计量,证明,例4,.,2,max,1,2,1,2,2,1,2,1,有效,较,时,现证当,计量,的无偏估,都是,和,中已证明,在无偏性的例4,q,q,q,q,q,+,=,=,n,X,X,X,n,n,X,n,L,注意,思考题设是参数的两个互相独立的无偏估计量,且,找出常数使也是的无偏估计,并使它在所有这种形状的估计量中的方差最小。,类似地,设是参数的两个无偏估计量,的相关系数为,可找出正数使也是的无偏估计,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小。,罗克拉美（RaoCramer）不等式,若,是参数的无偏估计量,则,其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界。,当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量。,均方误差对于两个无偏估计，我们可以通过比较它们的方差来比较哪个更好，但对有偏估计来讲，比较方差意义不大，我们关心的是估计值围绕真值波动的大小，因而引入均方误差准则。,因此，均方误差由点估计的方差与偏差的平方两部分组成。如果估计是无偏估计，则此时用均方误差评价点估计与用方差是完全一样的，这也说明了用方差考察无偏估计有效性是合理的。当估计不是无偏估计时，就要看其均方误差，即不仅要看其方差大小，还要看偏差大小。,例1设总体,为样本.则作为方差的估计量,的均方误差为的均方误差为.则的均方误差比的小.,而的均方误差是,证：易知,由本例可知，从无偏性角度考察，用估计方差是好的，但从均方意义上讲用估计方差更好。它们从不同侧面去考察估计量的好坏，至于具体采用什么估计则需要根据实际问题来定。,的均方误差是,例2前面我们已经指出对均匀总体，由的最大似然估计得到的无偏估计是，它的均方