第五章特征值和特征向量.ppt

第五章特征值和特征向量,矩阵的对角化,矩阵的特征值矩阵的特征向量矩阵可对角化的条件,预备知识,向量的内积,在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系,内积定义：,夹角：,向量的长度：,内积的坐标表示式：,定义1设有维向量,令,称为向量与的内积.,内积性质（其中为维向量，为实数）:,（1）,（2）,（3）,（4）等号当且仅当时成立.,定义2令,称为维向量的长度（或范数）.,向量的长度具有下述性质：,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,当时，称为单位向量.,不等式：,或,由此得,任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.,这一过程称为将向量单位化.,定义3当时，,定义4当时，,称为维向量与的夹角.,称向量与正交（或垂直）.,定义5若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组.,定理2若维向量是一组,若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组或标准正交向量组.,两两正交的非零向量组，则,线性无关.,求非零向量,使成为正交向量组.,例1已知,解设,则,即,由,得,从而有基础解系,取,即为所求.,与之等价的正交向量组的方法：,Schmidt正交化方法,Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量,作如下的线性交换，化为一组,可以证明：,两两正交，,且对任何,例2将,正交规范化.,解先将进行正交化，取,再将它们单位化，取,则即为所求.,定理3为正交矩阵的充分必要条件是,定义6如果阶方阵满足,正交矩阵,（即）,那么称为正交矩阵.,的行（列）向量组为正交规范向量组.,定理4设A，B都是n阶正交方阵，则,（1）,或,（2）,也是正交矩阵.,正交矩阵举例：,（1）n阶单位矩阵En；,（2）,设为正交变换，则有,定义7若P为正交矩阵，则线性变换,这说明，正交变换不改变向量的长度.,称为正交变换.,二特征值和特征向量,概念,定义1设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x(1)成立，则称是方阵A的特征值；非零列向量x称为A的对应于特征值的特征向量.,（1）式也可写为,这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，,即,它有非零解的充要条件是系数行列式,方程组(2)的系数矩阵A-E称为A的特征矩阵;,显然，A的特征值就是A的特征方程的解，在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计算）.,|A-E|是的n次多项式,记作f()，称为A的特征多项式;式（3）称为A的特征方程.,例1已知是,的一个特征向量，试确定参数,解由特征值和特征向量的定义可知，,及特征向量所对应的特征值.,即,于是,所以,即所求解为,特征值和特征向量的求法,（1）求出阶方阵的特征多项式,求阶方阵的特征值与特征向量的步骤：,（2）求出特征方程的全部根，,（3）把每个特征值代入线性方程组（2），,即是的特征值；,求出基础解系，就是对应于的特征向量，,基础解系的线性组合（零向量除外）就是,对应于的全部特征向量,例2求矩阵的特征值和特征向量,解的特征多项式为,所以的特征值为,当时，对应的特征向量应满足,于是，的对应的全部特征向量为,容易求得方程组的一个基础解系为,当时，由,（为常数）,解得基础解系,于是，的对应的全部特征向量为,特征值和特征向量的性质,定理1设是阶方阵，,定理2设是方阵的特征值，,则,（1）是的特征值；,的特征值.,则与有相同的特征值.,定理3设阶方阵的个特征值为,（1），其中是的主对,角元之和，称为矩阵的迹，记作,（2）,推论阶方阵可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零.,则,定理4设是方阵的个特征值，,例3三阶方阵的三个特征值分别为,求,依次是与之对应的特征向量.,如果各不相等，则,线性无关.,解可逆，所以,其中,于是,例4是的特征根，可逆时，,是的特征根.,应用（发展与环保问题）,为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下增长模型：,和为第个周期后的污染损耗和工业产值.,即,或,由此模型及当前的水平，可以预测若干,发展周期后的水平：,下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，,的特征多项式为,所以，的特征值为,来计算的幂.,为此，先计算的特征值.,对于特征值，解齐次线性方程组,的一个特征向量,对于特征值，解齐次线性方程组,的一个特征向量,可得的属于,可得的属于,如果当前的水平恰好等于，则时，,即,它表明，经过个发展周期后，工业产值已达,到一个相当高的水平,，但其中一半被,污染损耗所抵消，造成资源的严重浪费.,如果当前的水平，则不能直接,应用上述方法分析.,于是,此时由于,特别地，当时，污染损耗为,由上面的分析可以看出：,工业产值为，损耗已超过了产值，,经济将出现负增长.,尽管的特征向量没有实际意义,的线性组合,从而在分析过程中，仍具有重要作用.,三相似矩阵,概念与性质,定义1设都是阶方阵，若有可逆矩阵,则称是的相似矩阵，或说矩阵与相似.,对进行运算称为对进行相似变换.,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.,使,设为阶方阵，则相似矩阵有下列,（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.,定理1若与相似，则,（1）与有相同的特征多项式和特征值；,（2）,（3）,（4）与也相似，其中为正整数.,基本性质：,矩阵可对角化的条件,把方阵对角化方法，即求相似变换矩阵,定理2阶方阵相似于阶对角矩阵的,推论如果阶方阵有个互不相等特征值，,使为对角阵.,充要条件是,有个线性无关的特征向量.,则与对角矩阵相似.,例1已知矩阵,（1）求与；,（2）求一个可逆矩阵，使,（3）求,解（1）因与相似，故,即,将代入有；,（2）的特征值为1，2，2，,将代入有,解齐次线性方程组,可分别求得的对应特征向量,于是所求可逆矩阵,使,（3）由于，于是,所以,四实对称矩阵的相似矩阵,实对称矩阵特征值的性质,定理1实对称矩阵的特征值为实数.,定理3设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则矩阵AE的秩为nr，从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.,定理2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.,实对称矩阵的相似理论,定理4任意实对称矩阵都与对角矩阵相似.,定理5设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵,实对称矩阵对角化方法,阶实对称矩阵对角化的具体步骤:,（1）求出特征方程,（2）对每一特征值，解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系,所有不同的根,其中为的重特征值,（3）利用Schmidt正交化方法，,（4）记,则为正交矩阵，使,把正交化，,得到正交向量组,再单位化，得到正交单位向量组,并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列顺序相对应.,其中，矩阵的主对角线元素的重数为,例1设,求一个正交矩阵，,使为对角矩阵.,解的特征方程为,当时，解方程组得,基础解系,单位化后得,当时，解方程组,故的特