代数学基础0..ppt

线性代数作为先修课程，以下内容作为已学过内容。,行列式的定义、性质与计算矩阵的加法、数乘、乘法、分块乘法，逆矩阵及其求法向量组的线性相关与无关及相应性质线性方程组基本理论与一般解法二次型理论与计算,一、初等矩阵和矩阵的初等变换,矩阵初等变换定义:倍法变换、消法变换、换法变换.初等矩阵，倍法矩阵Pi(k),k0消法矩阵Pi,j(k)换法矩阵Pi,j初等矩阵都可逆的，其逆仍是同种的初等阵。,初等矩阵与初等变换的关系，有如下结论1以乘矩阵A等于将A的第扩大k倍;2以乘A等于将A的第之k倍加于第3以乘A等于互换A的i,j两.,线性相关：对，若有不全为0的数k1，k2,，ks，使（*）线性无关,二、向量组的线性相关性,关于向量组相关（无关）性的主要结论1一组向量（个数多于1）线性相关的充要条件是其中（至少）有一个向量可以由其余向量线性表示.2若无关，而相关，则必可由线表示，而且表法唯一.3相关组的扩大组仍相关；无关组的部分组仍无关.4n维向量多于n个时必成相关组.5若被线表，且st，则必为相关组.,向量组的极大无关组定义向量组的秩极大无关组中向量个数矩阵的秩A的行秩=A的列秩=A的行列式秩=秩A,第0章预备知识,1.1数域数域就是描述数的范围的一个概念。设F是一个元素个数多于1的数集，如果F中任意两个数的和、差、积、商（当除数非0时）仍是F中的数，就称F为一个数域。,第1节多项式,其他数域:,构成一个数域.,有理数域是最小的数域；复数域是最大的数域.,以下讨论问题时，凡涉及到数的，我们总假设是在某个数域上进行的.此时，参与运算的数都要限定在该数域内例如，f（x）是实数域上的多项式，就是指f（x）的所有系数都是实数.,常用的数域:有理数域-记为Q.实数域-记为R.复数域-记为C.,定义1.2对于非负整数n及数域F上的数ai(i=1,2,n),变量x的形式表达式,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(1),称为数域F上的一个多项式.当an0时，则称（1）为一个一元n次多项式，非零数an称为该多项式的首项系数，a0称为常数项.,例如3x4+x-2是一个4次多项式；,3是一个0次多项式；,所有系数都是0的多项式0称为零多项式.零多项式不定义次数.如果为了方便，也可以认为它的次数为-.,1.2多项式,对于正整数n，与n次多项式f(x)对应的方程f(x)=0称为n次代数方程.,例如一元二次方程,ax2+bx+c=0,a0.,它的根依据a，b，c的不同取值可能为不同二实根、相同二实根或共轭二复根.重复出现的根称为重根，其重复出现的次数称为该重根的重数.重数为1的根称为单根.,定理1.3在复数域上，n次代数方程恰有n个根(n1).,定义1.3对于n次(n1)多项式f(x)，代数方程f(x)=0的根亦称为多项式f(x)的根或零点.,根据定理1.1及定义1.3可知：n次(n1)多项式f(x)在复数域上恰有n个根（重根的个数按其重数计算）.,如果n次多项式(1)的全部互异的根为x1,x2,xt，它们的重数分别为n1,n2,nt，则有,(2),并且n1+n2+nt=n.,(2)式右端称为多项式f(x)在复数域上的标准分解式.,例如对于多项式f(x)=x3+2x2+x，分解式,f(x)=x(x+1)2，,f(x)=(x+1)2x,都是标准分解式，而,f(x)=x(x+1)(x+1)，,都不是标准分解式.,第2节方阵的特征值与特征向量,定义2.1对于n阶矩阵A=(aij),其主对角线上n个元素之和a11+a22+ann称为A的迹，记为trA.,定义2.2对于n阶矩阵A=(aij),把含有字母的矩阵,称为A的特征多项式.行列式|E-A|的值表达式是一,个多项式，称为A的特征多项式.特征多项式的根称为的特征值，亦称为特征根.,如果是特征多项式的单根，则称为单特征值，否则称为重特征值,定义2.3设0是n阶矩阵A的一个特征值.若有n维零非列向量使,A=0,则称为矩阵A的对应于特征值0的特征向量.,由上面的定义可知，矩阵A的任一特征值0所对应的特征向量都是方程组(AE)x=0的全部非零解向量,显然A的关于特征值0所对应的特征向量有无穷多个.,可以证明：方阵A的每一个特征向量只能对应于某一个确定的特征值.事实上,第3节正交矩阵与酉矩阵,3.1实向量的内积与正交矩阵,对于复矩阵称为A的共轭矩阵.1;2;3;4;5;6当A为方阵时，;7当A可逆，亦可逆且.记称为A的共轭转置矩阵.有,3.2共轭矩阵,若方阵A满足AHA=E,称A为U矩阵(酉矩阵).它是（实）正交矩阵的推广.U阵性质1A为U矩阵;2若A为U矩阵，则亦然;3若A，B均为n阶U矩阵，则AB也是U矩阵.,3.3酉矩阵,H矩阵Hermite矩阵方阵A为H阵实H阵即实对称阵，故H阵是实对称矩阵的推广.H矩阵性质1若A为H阵，则|A|为实数;2若A为H阵，k为实数，则kA仍为H阵;3若A为H阵，则仍H阵，当A可逆时，A-1亦为H阵;4若A，B均n阶H阵，则A+B亦然.,第4节H矩阵与H二次型,H二次型:当A为H阵时，称为H二次型.对任何复向量，为实数.H二次型有与实二次型平行的一系列结果.如相应于原二次型的H阵A变换为,第1章线性空间与线性变换,第1节线性空间的定义与基本性质线性空间设V是一个非空集合，F是一个数域。如果V上定义加法：对有使。定义数乘：有，使。并且以上两种运算还满足：1）；2）；3）V中存在零元素0，对，有；4）V中每一元素有负元素，使；5）；6）；7）；8）。则称V为数域F上的一个线性空间（向量空间）。,线性空间的基本性质1零元唯一（零向量有且仅有一个）；2任一元素的负元素唯一；3，k0=0，当k0且时，必有；4；推论。,本节将研究线性空间的结构。最简单零空间0定义2.1设V是数域F上的线性空间，如果V中有n个向量满足：1）线性无关；2）V中任何向量均可由线性表示，则称为V的一组基（基底）。基中向量个数n称为V的维数，记为维V或dim(V)。定理2.1n维线性空间中任意n个线性无关的向量均可构成一组基。,第2节基与维数,例求实数域R上的线性空间R3的基与维数。例求F23的基与维数.解,1）E11，E12，E13，E21，E22，E23线性无关;2）任何，有,可见E11，E12，E13，E21，E22，E23为基，维F23=6.,例求数域F上线性空间Fx3的维数和一组基。解空间中一般元素可表述为，可得一组基，维数为3。一般情形Fxn，维数为n一组基：。例在通常数的加法、乘法运算下，C（集合）作为复数域C上的线性空间为1维。基，任，有。C（集合）作为实数域R上的线性空间则为2维。基(i)无关,任何不全0的k1,k2,(ii)任有。,第3节坐标与坐标变换,坐标设V为F上n维线性空间，为一组基，对，由于线性表示性，有唯一一组常数，,使,称有序数组为在基下的坐标，记为在取应基之下，向量与坐标1-1对应的.,例1求F22中向量在基下的坐标解由线性表示式,即得基下的坐标为.,例Rx4中向量在基下的坐标为（1,0,3,0)T在基下坐标为（0,3,0,1)T.例V：二阶实对称阵空间，数域R,基故A在基A1，A2，A3下的坐标.,下面，研究在取定基下，向量与坐标的1-1对应关系。1。在任一基下，零向量与零坐标一一对应，即2。在基下，若向量的生标为的坐标为则，1）;2）.2。可推广：若设同一基下，的坐标为则的坐标为.,3。（定理3.1）设V是数域F上的n维线性空间，在取定基下，向量组线性相关充要条件是它们的坐标线性相关.证相关线性相关.,对n维线性空间V（数域F上的），设及都是V的基，于是它们可以互相线性表示:.借用矩阵相等及运算，可形式表示为(基变换公式)其中.A被唯一确定，称则基到的过渡矩阵或称变换矩阵.,过渡矩阵A必是可逆的.上式两端以A-1乘之这也是基变换公式.可以证明,下面形式成立:,下面给出基变换与坐标变换的关系设向量在基及基下坐标分别为,并设基变换公式为于是由一个向量在取定基下坐标之唯一性，必有或写成.(坐标变换公式),例在线性空间R3中，求由基的过渡矩阵，并求向量在基下的坐标.解设基变换公式为,则A中各列应是在基下的坐标又在下的坐标里为按坐标变换公式，有.于是,变换：由线性空间V到V映射,称为线性空间上的变换.记为变换的相等：，均为V上的变换，若对总有,则=.几个特殊的变换:恒等变换零变换数乘变换,第4节线性变换及其运算,变换的运算:和积数乘可证负变换可逆变换对V的变换，若有V的变换使，便说可逆，为的逆，记为.,线性变换设V是数域W上的线性空间,是V上的变换，如果1）2）则称为V的一个线性变换.1）2）称为保持加法，保持数乘，总称保持线性运算。可逆线性变换：既可逆又线性的变换.,例Rxn,：求导变换，为线性变换.例C作为实数域R上的线性空间，（）为线性变换.1）2）例R2上的变换；对R2,规定,A为取定22实矩阵,由于1）2）是线性变换.,线性变换的基本性质（设均为空间V上线性变换）12线性变换保持线性组合关系不变，即3线性变换把线性相关组化为线性相关组,45线性变换的运算满足如下算律6若是可逆线性变换,则亦然.,第五节线性变换的矩阵设V，F,n维，基设,若记则,即可表为,例在Rxn，为求导变换，求线性变换在基,例2有限维线性空间V,任一基(1)(2)(3)定理5.2保持加法，乘法，数乘.,定理5.3设线性空间V中，则定理5.4若线变在基下的矩阵为A，V中向量是在基下的坐标为x，则在基下的坐标为Ax定理5.5同一线性变换在不同基下的矩阵相似，具体地说，如果线性变换在两基及下的矩阵别为A与B，且,则.相似因子即两基变换矩阵,线性变换的特征多项式及特征根：即在任意取定基之下的矩阵A的特征多项式及特征根.的特征向量：若是属于之特征向量，则中以x为坐标之向量称为的相应于特征根的特征向量.,第6节线性空间的子空间子空间：设V是F上线性空间，V1是V的非空子集，如果V1对于V的两运算也构成F上的线性空间，则称V1为V的一个线性子空间，简称为子空间。定理6.1设V，F，如果V的非空子集V1对于V的两种运算满足1）对;2）对,则V1必是V的子空间.,例，V的平凡子空间（最小).例V=R3,V1=(a1,0,a2)a1,a2R.例nxn,V1=AA为上三角阵，AV.例线性变换的核是V的子空间.,例是V中向量，它们的（系数取自F的）线性组合所成集合构成子空间.V1称为由向量生成的子空间，记为,这里的称为生成元素.结论1如果的一个极大无关组的则结论2维,设V1，V2都是V的子空间,交(空间):和(空间):和不是并，.定理6.2子空间的交与和仍是