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2020年5月11日星期一,1,第七节方向导数与梯度,第七章,(DirectionalDerivativeandGrads),一、方向导数,二、梯度,三、小结与思考练习,2020年5月11日星期一,2,一、方向导数,定义若函数,则称,为函数在点P处沿方向l的方向导数.,在点,处,沿方向l(方向角为,)存在下列极限:,记作,2020年5月11日星期一,3,则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点P可微,得,故,定理,2020年5月11日星期一,4,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当l与x轴同向,当l与x轴反向,向角,2020年5月11日星期一,5,解:,2020年5月11日星期一,6,解:,2020年5月11日星期一,7,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f变化率最大的方向,模:f的最大变化率之值,方向导数取最大值：,2020年5月11日星期一,8,即,同样可定义二元函数,称为函数f(P)在点P处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,定义,2020年5月11日星期一,9,解:,解:,2020年5月11日星期一,10,2020年5月11日星期一,11,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2020年5月11日星期一,12,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,2020年5月11日星期一,13,作业,习题7-7P1084;7;,2020年5月11日星期一,14,思考练习,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2020年5月11日星期一,15,曲线,1.(1),在点,M(1,1,1)处切线的方向向量,解答提示:,2020年5月11日星期一,16,2020年5月11日星期一,17,指向B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,提示:,则,(96考研),2.函数,2020年5月1
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