现代控制理论第3章

第三章线性控制系统的能控性与能观性,3.1控制系统的能控性,一.引言,1.上一章回顾,能控性问题？,2.问题的提出,能控性表示的是“输入能否控制状态的变化”,能观性问题？,能观测性表示的是:“状态的变化能否由输出反映出来”,(1)能控性和能观性概念(2)能控、能观判据(3)能控、能观标准型、对偶关系(4)结构分解(5)最小实现,3.本章主要知识点,引例:设单输入连续系统状态方程为:,不可控子系统,二.能控性定义,说明：引例中不可控子系统是不稳定的。,应发散到无穷,能控状态的几何解释,能控状态子空间,定义1对于线性定常连续系统的状态方程，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间t0,tf内，将系统从某一初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(tf)，那么就称此状态是能控的。若系统的所有状态x(t)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。,几点说明:1）为了简便，系统的初始状态x(t0)，可以是状态空间中任意非零的有限点，终端状态x(tf)为状态空间的原点。2）也可以指定x(t0)是原点，而终端状态x(tf)为状态空间中任意非零点。称为状态的能达性。能控性和能达性是可以等价的(线性定常系统)。3）在讨论能控性问题时，不计较u的约束，只要能使状态从x(t0)到达x(tf)即可，而不讨论到达的轨迹。4）能控性反映了输入u控制内部状态变量x(t)的能力,三.能控性判据,预备知识,推论1：,推论2：,证明:,(不失一般性,假设,令,再由,例.判断下列状态方程的可控性,系统不完全可控,四.能控标准型,1.问题的提出,2.化能控标准型的理论根据,状态变量的非奇异变换不改变系统的能控性,非奇异变换的基本特性：,非奇异变换不改变系统的能控性,3.单变量系统的能控标准型,定理2,如果系统的状态空间表达式为,其中,则称该表达式为系统的能控标准型,因为,五.化能控标准型,证明：关键是否存在P?,3.2控制系统的能观性,一.能观性定义,定义：对于线性定常系统在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间t0,tf内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统状态x(t0)是能观测的。若系统的每个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。,二.能观性判据,定理1线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是：,因为能观性所表示的是输出反映状态的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，常假设u=0,例1判断下列系统的能观性,秩等于2，所以系统是能观测的。,例2判断下列系统的能观性,秩等于1，所以系统是不可观测的。,三.单变量系统的能观标准型,定理2,如果系统的状态空间表达式为,其中,则称该表达式为系统的能观标准型,四.化能观标准型,五.多变量系统的能控标准型和能观标准型,注意：多变量系统的能观标准型并不是能控标准简单的转置，与单变量系统有所不同,3.3能控性与能观性另一种判据,能控性判据除了直接由（A，B)确定，还有一种是先将系统化为对角线型或约当标准型，再由对应控制矩阵确定其能控性。,说明：1.对角化目的是使变换后各状态变量间没有耦合关系，从而使得影响每个状态变量的唯一途径是输入控制作用。2.条件特征值互异是必须的。,3.4对偶原理,一.对偶关系的定义,从图中可以看出，互为对偶的两个系统向量矩阵方框图特点：（1）两对偶系统的输入端与输出端互换（2）信号的传递方向相反（3）分支点和相加点互换