第2章 质点动力学

第2章质点动力学,质点动力学的任务：研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。,对时间积累,动量定理动量守恒,对空间积累,动能定理机械能守恒,以“力”为中心：,力瞬时作用,1686年，牛顿(Newton)在他的自然哲学的数学原理一书中发表了牛顿运动三定律万有引力定律，并建立了经典力学的理论体系。在光学方面，他说明色散的起因，发现色差，发现牛顿环。他提出光的微粒说。,2.1牛顿定律,一、牛顿第一定律（惯性定律）,惯性：物体保持其运动状态不变的特性。,任何物体都保持静止或匀速直线运动，直到其它物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。,力：物体间的相互作用。,惯性系：惯性定律成立的参考系。,当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。,二、牛顿第二定律,注:,1)质点动力学的基本方程,物体的加速度同物体所受的合外力成正比，同物体的质量成反比。,2)合力和加速度是瞬时关系、矢量关系,三、牛顿第三定律(作用力与反作用力定律),注：1)物体受力分析的依据,相同：力的大小、性质、作用线、作用时间,不同：作用的物体、力的方向,2)作用于不同物体上故不能抵消。,当物体A以力作用在物体B上时，物体B也必定同时以力作用在物体A上，两力作用在同一直线上，大小相等，方向相反。,牛顿定律适用范围：,（1）适用于惯性系,（2）适用于低速运动，是相对论力学的低速近似。,（3）适用于宏观物体，是量子力学的宏观近似。,（4）适用于实物，不完全适用于场。,几种常见力:,1.万有引力,如抛射速度足够大，物体将绕地球转动，永不落地。,引力常数：,第一宇宙速度：,第二宇宙速度：,第三宇宙速度：,2.重力,重力是物体所受地球引力的一个分量。,方向：近似垂直地面向下,3.弹性力,k为劲度系数,类型：,胡克定律：,物体因形变而欲恢复原状的力。,正压力和支持力拉力和张力弹簧的弹力,x,静摩擦力:当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方向相反。,大小随外力而变,4.摩擦力,最大静摩擦力：,s静摩擦系数N正压力,例用水平压力把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。当逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f(A)恒为零；(B)不为零，但保持不变；(C)随F成正比地增大；(D)开始随F增大，达到某一最大值后就保持不变。,B,解：物体受力如图所示，由于保持静止，所以不为零，且保持不变：,滑动摩擦力：,当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力。其方向与滑动方向相反。,k为滑动摩擦系数,自行车运动中的摩擦力,自行车的刹车,观察鸡蛋的运动,自然界中四种基本的相互作用,电磁相互作用：,长程力。除万有引力外，几乎是所有宏观力的缔造者。如摩擦力、弹性力、张力、支撑力、浮力、粘滞力等。,引力相互作用：,强度仅为电磁力的1/1037,强相互作用：,在原子核内才表现出来，其强度是电磁力的百倍。力程：约为10-15m,弱相互作用：,存在于基本粒子之间，强度只是强力的10-810-13。力程：约为10-17m,核力相互作用：,只在10-15m的范围内起作用，短程力.,四、牛顿定律的应用,解题步骤：,（1）隔离物体，受力分析；,（2）判断各物体的加速度；,（3）确定坐标，建立方程；,（4）运算求解，简短讨论.,A类问题：,物体受恒力作用，物体间互相牵连、约束。可用初等数学方法解题。,解题步骤：,（1）分析物体受力的性质；,（2）确定坐标，建立方程；,（3）求上述微分方程的解；,（4）由初始条件计算结果.,B类问题：,变力（随时间、位置、速度）作用问题，变质量问题，用微积分方法解题。,受力分析（静力学基础）：,1.力的三要素,力的大小，方向和作用点。,2.力的合成和分解（力是矢量）,F是合力，不是新的力。,3.名义力与实在力,切法向力是名义力，由实在力充当，不是新的力。,例：如图所示，质量为m的物体从半径为R的光滑球面上滑下，当物体到达图示角度a时，其瞬时速度的大小为v。求（1）此时球面受到的压力N；（2）物体的切向加速度at。,解：,m的切向方程:,解得：,m的法向方程：,例：一质量为m1的人，站在质量为m2的底板上，用绳和滑轮如图连接。设滑轮、绳的质量可忽略不计。当人静止不动地站在底板上时，求人拉绳子力。,m2,解：受力分析如图,人和底板都静止不动，有,m1,例图中所示的光滑装置中，忽略轴上摩擦以及滑轮和绳的质量，且假设绳不可伸长，求：（1）质量为2m的下落物体的加速度a；（2）绳子对质量为m的物体的拉力T。,解：物体的受力如图,下落物体的牛顿方程：m水平运动牛顿方程：,解方程得：,mg,水平运动物体加速度是下落物体的2倍,例：如图所示，300底角的劈形斜面A始终静止在粗糙的水平面上，物体B沿斜面下滑，若A、B间滑动摩擦系数=0.22，求物体B下滑的加速度。,解：A和B受力图,物体B的牛顿运动方程：,解得：,例：滑动摩擦系数为的水平地面上放一物体A。现加一恒力F，如图所示。当物体A有最大加速度时，求恒力F与水平方向的夹角。,解：物体A受力如图，由牛顿定律：,得,求导得极大值,例：质量为m的小球在水中由静止开始下沉。设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即，k为比例系数，水对小球的浮力为B。求小球在水中任一时刻的沉降速度。(设t=0时，v=0),m,解：,由牛顿定律得,即,分离变量,得,例质量为M的小艇在靠岸时关闭发动机，此刻的船速为v0，设水对小艇的阻力f正比于船速v，即f=kv（k为比例系数）。试求小艇在关闭发动机后还能行驶的距离。,解：小艇M的牛顿运动方程：,代入初始条件，两边积分,得：,现象：,五、非惯性系和惯性力,惯性系：,牛顿定律成立的参考系。,非惯性系：,相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿第一二定律不成立。,匀速直线运动时牛顿定律成立；加速运动时牛顿定律不成立。,一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。地球近似为惯性系。,惯性力：,为在非惯性系中运用牛顿定律而引进的虚构力,物体质量非惯性系加速度,说明：惯性力是虚拟力，无施力物，无反作用力。与真实力有区别。物体惯性在非惯性系中的表现。,非惯性系中牛顿第二定律：,对非惯性系,匀角速转动参考系中的惯性力惯性离心力,以地面为参考系：,以圆盘为参考系：,注意区分:向心力，惯性离心（力离心力）,例：由于地球的自转，地球表面的物体将受到如图的惯性离心力，物体的重力即是引力与惯性离心力的合力。,超重与失重,超重,失重,宇宙飞船上的失重现象,力的累积效应,2.2动量和动量守恒定律,车辆超载容易引发交通事故,车辆超速容易引发交通事故,质量与动量的关系,一、质点的动量定理,动量：运动质点的质量与速度的乘积,单位：kgms-1,牛顿定律,冲量：力在作用过程中的累积效应,恒力的冲量：,质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,单位：Ns,说明：,（1）冲量是矢量，且是过程量。方向与质点动量增量的方向一致。,（2）计算采用平行四边形法则。或以分量形式进行计算。,伸直手臂延长手对标枪作用时间，以提高标枪出手速度。,例：一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力F=400-4105t/3(SI)，子弹从枪口射出时的速率为300ms-1。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：(1)子弹走完枪筒全长所用的时间t。(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I。(3)子弹的质量m。,解：(1),(2),(3)根据动量定理,例质量为m的物体以与地面夹角300的初速度抛出，不计空气阻力，物体从被抛出到回到地面的整个过程中，则外力冲量的方向为_，大小为_。,垂直向下,由n个质点组成的质点系,二、质点系的动量定理,对质点系：,求和：,由质点动量定理：,合外力的冲量,系统末动量,系统初动量,质点系的动量定理：合外力的冲量等于系统总动量的增量.,三、动量守恒定律：系统所受合外力为零时系统的总动量保持不变.,如果：,微分式：,说明：1.系统总动量不变，每个质点动量可能变化。,2.当内力外力时（碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律。,3.直角坐标系中的分量式：,某方向所受合外力为零，则该方向动量守恒。,4.动量守恒定律在微观高速范围仍适用。,5.动量守恒定律只适用于惯性系。,坐在冰车上的小孩,射击中的动量守恒现象,例在光滑水平面上有两辆静止的小车，它们之间用一根轻绳相互连接，设第一辆车和车上的人的质量总和为250kg，第二辆车的质量为500kg。现在第一辆车上的人用F=25t2N的水平力拉绳子，则3秒末第一辆车的速度大小为，第二辆车的速度大小为。,由动量定理：,解：每辆车受到的冲量为,水平方向动量守恒,2.3功和能,一、功和功率,单位：焦耳(J),恒力的功：恒力作用下直线运动,变力的功：变力作下从a运动到b,元功：,总功：,（1）功是过程量；是标量，有正负，没有方向。,说明：,（2）合力的功,合力的功等于各分力的功的代数和。,物体沿x轴运动，外力在该方向的分力所做的功可用曲线下的面积表示。,（3）功的图示法,例：设作用力的方向沿Ox轴，其大小与x的关系如图所示，物体在此作用力的作用下沿Ox轴运动。求物体从O运动到2m的过程中，此作用力作的功。,解法一：示功面积求解,法二：由图写出作用力F与位移x的数值关系，积分求解,W=1J,解：,例：一质点做圆周运动，有一力作用于质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力做的功W=？,功率等于力和速度的标积,反映作功快慢程度的物理量。单位时间内力所作的功称为功率。,功率：,功率的单位：,1.重力的功：,结论：重力做功只与质点的始末位置有关，与质点的运动路径无关。,二、保守力的功势能,弹性力,弹性力的功为,2.弹性力的功,结论：弹性力对小球做的功只与小球的始末位置有关，与小球的运动路径无关。,非保守力（耗散力）：没有上述特性的力。如摩擦力、爆炸力。,如：重力、弹性力、万有引力、静电力。,保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。或沿闭合路径所做功为零的力。,3.摩擦力的功,结论：摩擦力的功与质点运动的路径有关。摩擦力为非保守力,4.势能,保守力作功等于物体始末位置的函数之差，,功是能量变化的度量，定义该函数为势能。,保守力作功等于系统势能的减少。,设,某点的势能等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。,（1）只有保守力场才能引入势能的概念。（2）势能是状态量（位置的函数）。其值与零势能点的选取有关。（3）势能属于物体与系统所共有。,注意：,重力势能：,（地面为势能零点）,弹性势能：,（弹簧自由端为势能零点）,引力势能：,（无限远处为势能零点）,机械能:,跳高采用那种方式最好，为什么？,三、动能和质点动能定理,单位：焦耳(J),动能：质点因有速度而具有的作功本领,质点m在力的作用下从a点移动到b点,合外力对质点所做的功等于质点动能的增量,质点的动能定理：,功与动能虽单位相同，但功是过程量，能是状态量。功是能量变化的量度；功和能具有普遍意义；适用于惯性系。,注意：,例：质量m=1kg的质点，从原点处由静止开始沿Ox轴运动，所受力为F=3+2x（SI），求物体在运动到3m时的速度。,由动能定理：,解：外力对质点作功为,B,例质量为m0.5kg的质点，在Oxy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t，y=5t2（SI），从2s到4s这段时间内，外力对质点作的功为：（A）150J；（B）300J；（C）450J；（D）-150J。,解：,由质点动能定理得,质点系的动能定理：,质点系所受外力和非保守内力的功等于质点系机械能的增量。,四、功能原理,而,如：爆炸过程内力所做的功转化为弹片的动能。,五、机械能守恒定律,当过程满足时，,机械能守恒定律：当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时，质点系的总机械能守恒。,能量守恒定律：在孤立系统内，无论发生什么变化过程，各种形式的能量可以互相转换，但系统的总能量保持不变。,.选系统，看运动。,分清内力、外力；内力分清保守力、非保守力。判断各力是否作功。,利用功能原理解题步骤:,.查受力，分析功。,选择合适的系统。所选系统应包括有保守力作用的物体。,例.如图所示，倔强系数为k的轻弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为m的物体，物体与桌面间的摩擦系数为。初始时刻弹簧处于原长状态，物体静止在坐标原点。现用不变的力F拉着物体向右移动，问物体最远能到达何处？,解：以物体、弹簧为系统,由功能原理：,达到最远处时，物体速度为零。,水平方向拉力F、摩擦力f做功,例：（1）计算第一宇宙速度,已知：地球半径R，质量M，卫星质量m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求发射速度。,解：设发射速度为v1，绕地球速度为v。,机械能守恒：,m,牛顿定律：,解得：,代入上式，得：,（2）计算第二宇宙速度,飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,1）脱离地球引力时，飞船的动能0。,由机械能守恒定律：,解得：,2）飞船脱离地球引力处，引力势能为零。,解：法向牛顿定律方程,例：如图所示，长为l的细线一端固定，一质量为m的小球系在细绳的另一端，并可在竖直面内摆动。若先拉动小球使线保持平直，并在水平位置静止，然后放手使小球下落，求在线下摆至角时小球的速率v和细线中的张力T。,由（2）得,代入（1）得,小球与地球系统机械能守恒：,2.4质点的角动量和角动量守恒定律,问题：如何量度转动物体的机械运动量？,当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时引人与动量对应的角量角动量,质点的角动量反映质点旋转运动的强弱,矢量计算（乘积）：,大小：,方向：右螺旋,一、质点的角动量,质点对考系点O的角动量：,（1）角动量须指明对参考点而言,（2）当质点作圆周运动时，有,单位（SI）：千克米2秒-1（kgm2s-1）,说明：,力对参考点O的力矩,二、力对参考点的力矩,单位：牛顿米（Nm）,大小:方向:右螺旋方向,（2）当质点受n个力作用，合力矩为：,合力矩等于