一元二次方程根与系数的关系.ppt

一元二次方程的根与系数的关系,韦达,（1）x2-7x+12=0,(2)x2+3x-4=0,(4)2x2+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-,-2,算一算：,（3）3x2-4x+1=0,1,-,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则,.,.,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=,-,注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2=时，注意“”不要漏写。,如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.,P,q,一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,(1)x2-2x-1=0,(3)2x2-6x=0,(4)3x2=4,(2)2x2-3x+=0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,说一说：,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.,解法一：,设方程的另一个根为x2.,由根与系数的关系，得,2x2=k+1,2x2=3k,解这方程组，得,x2=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x2.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数的关系，得2x23k,即2x26,x23,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);(4).,另外几种常见的求值:,1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.,解：设方程的另一个根为x2,则x2+1=,x2=,又x21=,m=3x2=16,解：,由根与系数的关系,得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,试一试：,4,1,14,12,则：,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,4.已知方程的两个实数根是且，求k的值.,解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，=-80k=4(舍去）当k=-2时，=40k=-2,解得：k=4或k=2,探究：,6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.（1）求实数m的取值范围；（2）当x12-x22=0时，求m的值.,6.（2013荆州）已知：关于x的方程kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2,且x1x2=2,求k的值.,2、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题.,1.一元二次方程根与系数的关系？,小结：,一元二次方程的根与系数的关系,下列方程的两根的和与两根的积各是多少？.X23X+1=0.3X22X=2.2X2+3X=0.3X2=1,基本知识,在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用X1+X2=时，注意“”不要漏写.,练习1,已知关于x的方程,当m=时,此方程的两根互为相反数.,当m=时,此方程的两根互为倒数.,1,1,分析:1.,2.,练习2,设的两个实数根为则:的值为()A.1B.1C.D.,A,以为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:,二、已知两根求作新的方程,题5以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y23y-5=0B、y23y-5=0C、y23y5=0D、y23y5=0,B,分析:设原方程两根为则:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,求作新的一元二次方程时:1.先求原方程的两根和与两根积.2.利用新方程的两根与原方程的两根之间的关系,求新方程的两根和与两根积.(或由已知求新方程的两根和与两根积)3.利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程.,练习:1.以2和为根的一元二次方程（二次项系数为）为：,题6已知两个数的和是1，积是-2，则两个数是。,2和-1,解法(一):设两数分别为x,y则:,解得:,x=2y=1,或,1y=2,解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:,求得,两数为2,三已知两个数的和与积，求两数,题7如果1是方程的一个根，则另一个根是_=_。,（还有其他解法吗？),-3,四求方程中的待定系数,小结：1、熟练掌握根与系数的关系；2、灵活运用根与系数关系解决问题；3、探索解题思路，归纳解题思想方法。,8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0)(1)此方程有实数根吗？（2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且（x1-3)(x2-3)=m，求m的值。,拓广探究,题9方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,一正根，一负根,0X1X20,两个正根,0X1X20X1+X20,两个负根,0X1X20X1+X20,请阅读下列材料：问题：已知方程x2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y2x，所以x把x代入已知方程，得()210化简，得y22y40故所求方程为y22y40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”