高中数学圆锥曲线问题解题技巧

,=1+k2.,(k为双曲线渐近线的斜率.),(2004全国东北理科卷)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=x，则该双曲线的离心率e=()A.5B.C.D.,=1+k2.,其中k为双曲线渐近线的斜率.,e2=5/4.,将k2=e2-1代入上式,整理得,9e4-9e2-4=0,e2=4/3.,4,即ec3a,e23,已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于P,且PF1F230(如图),求双曲线的渐近线方程.,x,y,o,P,F1,F2,|PF1|2|PF2|，,exP+a=2(exP-a)，,exP3a,k2=e2-1=2.,A,由已知,|AF1|=c,|AF2|=c,即ex1-a=c,ex1+a=c,两式相减：2a=(-1)c,两边同除以a得e=,因为|NF1|=exN-a=c,即exN+a=c,又|NF2|=|NF1|,2exN=(+1)c,将xN=c/2代入即得.,要点提炼：设双曲线的离心率为e,一条有较小倾斜角的渐近线的斜率为k,则双曲线的如下性质在解题时十分有用：过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上,垂线段的长等于半虚轴长；arccos(1/e)；e2k21.此外,双曲线的焦半径公式：r1|ex0a|，r2|ex0a|在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.,设,设而不求,=1.,x2+y2=3,y=,平几知识的应用,c2y2=b2(c2-a2)=b4,y=b2/c,SF1MF2=b2.,SF1MF2=b2=2,设点M到x轴的距离为d,则cd=S,d=,将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的不变量.,y2a(x-3),曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k=2ax0.,依题意,0k1,即02ax01.,f(x)=2ax,F,P,y=2ax,y|=1.,证明：点P处的切线斜率为1,证明：点P处的切线斜率为1,法一：由y2=2px2yy=2p,法二：由,y2=2px,PF=p,x=-,命题1设抛物线y2=2px(p0)的通径为PQ，则抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为1和-1,且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.,y2=18x,y2=8(x-6),AB：x-y-1=0求得|AB|=8；,取点M(1,2),MAB的面积为4,点M到直线AB的距离为,由,得,双曲线通径端点处切线的斜率为e.,过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为：,过双曲线上一点P(x0,y0)的切线方程为：,命题2若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为e和-e，且切线通过相应准线与x轴的交点.,或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线的准线与x轴的交点，且斜率为e(或-e)的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.,作离心率为1/2的椭圆,|OF|c,|FA|b,|OA|a.,c|AB|2ab,|AB|,作离心率为2的双曲线,(2004湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(I)设点P分有向线段AB所成的比为，证明QP(QA-QB)；(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).,即,光的反射,基本原理:,()光的传播遵循“光行最速原理”;,()光的反射应满足：“入射角=反射角”;,由此推得,光的反射,基本技巧:,入射线;,始点终点的对称点,反射线.,始点的对称点终点,(x-2)2+(y-2)2=1,始点的对称点终点-反射线；,终点的对称点始点-入射线.,P(-3,1),F(-c,0),解法一：,依题意,入射线方程为,令y=-2,得M(-,-2);,令y=0,得N(-,0).,F(-1,0),a2=3,P(-3,1),F(-c,0),解法二：,点F关于直线y=-2的对称点为Q(-c,-4).,c=1,a2=3,依题意,kPQ=-,Q,要点提炼：光反射的理论依据，是物理学中的光行最速原理；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的对称性，这就是“通法”.只有把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.,(),()分析：,由题设，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，,即|xQ|=2|xQ+m|，,即xQ=-2m或xQ=-m.,(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0,令x=-2m，得k=0；,令x=-m，得k=2.,()由对称性，我们只须研究如图的情况.,(1)当yB=-4yA时，,yA=1,m=.,令x=0，得y1=,(2)当yB=-9yA时，同理可得y2=,m,设|AB|=2c,则A(-c,0),C(,yC),又设E(x0,y0),得x0+c=(-x0),x0=,|EC|=(exC+a)-(-ex0-a)=2a+e(xC+x0),因为|EC|=|AC|-|AE|,所以-ex0-a=2a+e(+x0),t=,-2et-2=4+e(e+2t),2e(+1)t=-(e2+4+2),将代入,两边同乘以,e2(-2)=-(e2+4+2),e2=,因为,所以7e210,得,(2004天津理科卷)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|.过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.()求椭圆的方程及离心率；()若OPOQ=0，求直线PQ的方程；()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M.证明：FM=-FQ.,e=,xy-3=0,()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M.证明：FM=-FQ.,？,分析设P(x1,y1),Q(x2,y2),则M(x1,-y1).又F(2,0),由已知,x1-3=(x2-3),y1=y2.,=-(3-x2-,y2),-2:,将式代入上式，整理得：,x20,()设AP=AQ(1).过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M.证明：FM=-FQ.,？,还须证：M、F、Q三点共线.,要点提炼：解综合题的关键