《D87二重积分》PPT课件

,第八章,第七节,二重积分,机动目录上页下页返回结束,一.概念与性质,二.计算累次积分,三.几何应用,本节的教学要求,理解二重积分的概念和性质掌握直角坐标系下二重积分的计算了解极坐标系下二重积分的计算会解二重积分的简单几何应用问题,重点,机动目录上页下页返回结束,解法:类似定积分解决问题的思想:,(一)二重积分的概念,给定曲顶柱体:,底：xoy面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求极限”,机动目录上页下页返回结束,一、引例,1.曲顶柱体的体积,1)“大化小”,用任意曲线网分D为n个区域,以它们为底把曲顶柱体分为n个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体.,机动目录上页下页返回结束,也表示小区域的面积.,4)“取极限”,令,机动目录上页下页返回结束,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.,度,设D的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D为n个小区域,相应把薄片也分为小区域.,机动目录上页下页返回结束,为D上连续函数.,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第k小块的质量,机动目录上页下页返回结束,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,机动目录上页下页返回结束,定义8.8,将区域D任意分成n个小区域,任取一点,若存在一个常数I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界闭区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动目录上页下页返回结束,(二)二重积分的性质,(k为常数),为D的面积,则,机动目录上页下页返回结束,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D的面积为,则有,机动目录上页下页返回结束,(二重积分的估值定理),7.(二重积分的中值定理),证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动目录上页下页返回结束,(三)二重积分的计算,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动目录上页下页返回结束,同样,曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动目录上页下页返回结束,于是,计算二重积分就转化为计算两次定积分.,和上式右端叫作累(二)次积分.,1.利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,机动目录上页下页返回结束,注意:,(1)如果D是矩形,即,也可记作,(2)如果函数,(3)如果平行于坐标轴的直线与积分区域,机动目录上页下页返回结束,可积,且区域,则,则要分区利用积分的可加性积分.,所以做二重积分时,也应先画图求交点,以确定积分限.,交点多于两个,例1计算二重积分,其中区域D是由,所围成的矩形.,解:,机动目录上页下页返回结束,D既为X型区域,又为Y型区域.,例2计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,例3计算,其中D是由,所围成的位于第一象限内的图形.,解:,则,机动目录上页下页返回结束,若先对y后对x积分,D既为X型区域,又为Y型区域.,例4计算,其中D是由,所围成的图形.,解:,机动目录上页下页返回结束,与,若对y先积分,需要分别积分后相加,麻烦.,区域D被y轴分为两部分,对x积分,就不必将区域D分开.,若先,例5计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,机动目录上页下页返回结束,例6计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,机动目录上页下页返回结束,课堂练习,1.化二重积分,D是由x轴,在第一象限的部分及直线,解:,围成的区域.,机动目录上页下页返回结束,为二次积分.,圆,先对x,后对y积分:,先对y,后对x积分:,(写出两种积分顺序.),2.计算二重积分,解:,机动目录上页下页返回结束,因D是矩形区域,所以,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.二重积分的计算,二次积分法,机动目录上页下页返回结束,基本步骤:,(1)画出积分域,明确边界线方程和交点坐标.,(2)确定积分顺序和积分上下限.,积分顺序选择的原则:能积分;分区少;积分简单.,直角坐标系时二重积分化为二次积分:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,作业:P36626(1)(3)(5);29(1)(4)(5),作业讲评,16(6),用公式.,解:,设,机动目录上页下页返回结束,求,用公式只能求偏导数.,求高阶偏导数用直接法,19(3)求函数,解,机动目录上页下页返回结束,代入上一式得,将,易得驻点:(0,0)和(1,1).,21解:,设内接长方体长为2x,宽为2y,高为z.,设,先消去,得x=y=z.,再由此式得,因驻点唯一和实际问题存在最大值,知它为最大值点.,所以,取得最大体积的内接长方体长宽高各为,的极值.,直角坐标系时二重积分化为二次积分:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动目录上页下页返回结束,关于交换积分顺序,则有,机动目录上页下页返回结束,若积分区域既是X型区域又是Y型区域,有些二次积分为了积分方便,需要交换积分顺序.,如求,必须交换积分序:,先由所给二次积分明确D,再定新的积分限.,例7试证,其中,a,b均为常数,且a0.,证:,机动目录上页下页返回结束,交换积分顺序,先对y积分:,例8交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,机动目录上页下页返回结束,重积分的几何应用,解:,机动目录上页下页返回结束,应用二重积分,求在xoy平面上由,与,所围成平面区域的面积A.,由性质4知,所以,D既为X型区域,又为Y型区域,例9,但先对y积分较简单.,例10求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动目录上页下页返回结束,2.利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线=常数,分划区域D为,机动目录上页下页返回结束,极坐标与直角坐标的变换关系:,讨论在极坐标下计算,于是,机动目录上页下页返回结束,利用极坐标计算二重积分时,确定二次积分的积分限,要注意区分以下几种情况.,考虑极限过程,在极坐标下面积元素为,即,则,机动目录上页下页返回结束,(1)极点O在区域D之外的情况,区域D夹在两条射线,它们与区域D的边界的交,点将D的边界分成两部分:,之间,此时,则,(3)极点O在区域D的内部,机动目录上页下页返回结束,(2)极点O在区域D的边界上,当区域D是圆或圆的一部分,机动目录上页下页返回结束,当区域D的边界用极坐标表示极为简单,当被积函数为,等形式时,适宜采用极坐标计算二重积分的情况:,机动目录上页下页返回结束,例11计算二重积分,其中D是圆,围成的区域.,解:,该圆的极坐标方程是,例12计算,其中,解:在极坐标系下,原式,若D无界,属二元函数的广义积分.,故,机动目录上页下页返回结束,例13计算泊松积分,解:因为,设,的原函数不是初等函数,机动目录上页下页返回结束,所以不能用牛顿,莱布尼兹公式给出积分值.,其中区域D是整个第一象限.,用极坐标计算H,因,于是,而,例14求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,机动目录上页下页返回结束,课堂练习,1.交换二次积分的顺序,解:,机动目录上页下页返回结束,原式=,2.计算,D是圆域,解:,机动目录上页下页返回结束,在极坐标系下计算较简单.,其中,原式,(降幂),(奇函数在l,l积分),(4倍的圆面积),内容小结,(1)交换二次积分顺序,(2)几何应用,机动目录上页下页返回结束,先由已知的二次积分的积分限确定积分域,然后写出新的二次积分.,求平面图形(区域D)的面积,求曲顶柱体(底为D,顶为f(x,y)的体积,则,(3)利用极坐标计算二重积分,机动目录上页下页返回结束,(4)计算二重积分步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,尽量使被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分要好算,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用定积分的基本方法,机动目录上页下页返回结束,作业:P