《D83平面方程》PPT课件

,第三节,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,机动目录上页下页返回结束,平面及其方程,第八章,三、平面的截距式方程,四、特殊的平面方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,向量,则有,故,机动目录上页下页返回结束,例1.求过三点,即,解:取该平面的法向量为,的平面的方程.,得平面的方程,机动目录上页下页返回结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,平面的一般式方程:,注：,该平面的法向量为,即,所求平面方程为,解,法向量可取为,例2,求通过点,且垂直于平面,和,的平面方程.,法向量,在平面上取一点,则P0到平面的距离为,证,点,到平面,的距离,定理,解,设,则,例4研究以下各组平面的位置关系：,解,故两平面斜交,故两平面平行.,故两平面垂直.,0,=,三、平面的截距式方程,此平面就是过点P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)的平面.(其中a、b、c称为,平面在x、y、z轴上的截距.),注:,利用截距式方程可方便地画出平面的图形.,推导：,此平面方程为,即,例5,求平行于平面,6x+y+6z+5=0,且与三个坐标,面围成的四面体体积为1,的平面方程.,设所求平面方程为,解,即,由题设,得,于是,故所求平面方程为,四、特殊平面的方程,Ax+By+Cz=0,1.通过原点的平面,By+Cz+D=0,2.平行于坐标轴的平面,Ax+Cz+D=0,机动目录上页下页返回结束,(D=0):,x轴的平面,(A=0):,y轴的平面,(B=0):,z轴的平面,(c=0):,Ax+By+D=0,A=0,问：过三条坐标轴的平面方程分别是？,Cz+D=0,机动目录上页下页返回结束,3.平行于坐标面的平面,平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面:,Ax+D=0,平行于xoz面的平面:,By+D=0,特别地：,yoz面:x=0,xoy面:z=0,xoz面:y=0,例6.求通过x轴和点M(4,3,1)的平面方程.,解:,法一：因平面通过x轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动目录上页下页返回结束,所求平面的法向量可取为,故所求平面方程为:,法二：,即,小结,一、平面方程,2.一般式,1.点法式,3.截距式,二、平面一般式方程的几种特殊情形,2.在的前提下,方程中缺哪一个变量,平面就平行于相应的那根坐标轴.,3.在的前提下,方程中缺哪一个变量,平面就通过相应的那根坐标轴.,4.在的前提下,方程中缺哪两个变量,平面就平行于相应的那个坐标面.,1.常数项D=0,则平面通过原点.,四、点到平面的距离公式,三、平面与平面之间的位置关系,平面,平面,习题P25,1,2,3,8(1)(3),9.,因此有,例1.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动目录上页下页返回结束,备用题,例2.求平行于y轴且经过点A(1,2,3)与B(2,0,-1),解,所求平面的法向量可取为,故所求平面方程为,即,的平面方程.,五、两平面的夹角(不讲),两平面法向量的夹角