《D38泰勒公式》PPT课件

,3.8.3函数的Taylor与Maclaurin展开,3.8,3.8.2Taylor(泰勒)公式,机动目录上页下页返回结束,3.8.4Taylor(泰勒)公式的应用,应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,Taylor(泰勒)公式及其应用（公元:16851731),第3章,3.8.1问题的提出,特点：,3.8.1问题的提出,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题：,能否提高精度?,如何估计误差?,x的一次多项式,机动目录上页下页返回结束,为此，令,（其中：）,称为n次多项式，,称为该,多项式的系数。,多项式的特点：,结构简单、,计算方便、,分析性质良好。,机动目录上页下页返回结束,综上分析与考虑：,对于给定的函数,在点,处n阶可导，,要使所寻求的多顶式在点,附近与,则必有,从而得：,又,很接近，,一般地，,这样所寻求的n次多项式为：,1.Taylor（n阶）多项式,机动目录上页下页返回结束,定义：,设函数,在点,处n阶可导，,令,为系数所构成的n阶多项式，,记作：,以,在点,处导出的（n阶）Taylor多项式，,称为,函数,称为函数,3.8.2Taylor(泰勒)公式,阶可导,有,其中m阶Taylor多项式具有以下的形式：,则,泰勒目录上页下页返回结束,设函数,在,内,定理（Taylor中值公式）,称为函数,处带Peano余项的Taylor(展开)公式。,处带Lagronge余项的Taylor(展开)公式；,在,在,先证公式的情形，,证明：,显然,机动目录上页下页返回结束,由Cauchy中值定理得：,其中:,再证公式的情形，,由LHospital法则，有,机动目录上页下页返回结束,函数,注明：,麦克劳林目录上页下页返回结束,在点,处的n阶Taylor多项式与n阶Taylor公式,函数,函数,是不同的两个概念；,在点,处展开为Taylor公式时，所带余项的形式,要随需要（要求）而变；,在,若只考虑函数,Taylor中值公式是Lagrange中值公式推广；,内只是n阶可微时，,项的展开式中，,而在带Peano余,项的展开式中，,在点,处展开为带Peano余项的形式，,定理中和条件还可放宽到,在点,处(n+1)阶可微；,Taylo公式中，,所得函数的展开式称为Maclaurin,若取,(展开)公式,在带Lagrange余,其Taylor多项式只能是(n-1)阶；,其Taylor多项式仍可以是n阶的。,（既Maclaurin展开是Taylor展开的特殊形式）。,Maclaurin（马克劳林）公式,机动目录上页下页返回结束,阶可导,有,则,设函数,在,内,其中m阶Taylor多项式具有以下的形式：,称为,称为,处带Peano余项的Maclaurin(展开)公式。,处带Lagronge余项的Maclaurin(展开)公式；,在,在,公元：16981746,函数f(x)的Taylor、Maclaurin展开公式的形式,机动目录上页下页返回结束,3.8.3函数的Taylor与Maclaurin展开,机动目录上页下页返回结束,）直接展开,机动目录上页下页返回结束,(2)正弦函数,机动目录上页下页返回结束,对于sinx带Lagranger余项的Maclaurin展开,从而得：,类似可得：,机动目录上页下页返回结束,(3)余弦函数,机动目录上页下页返回结束,(4)幂函数,即,机动目录上页下页返回结束,特别地，,当,时，,机动目录上页下页返回结束,特别地，取,当k2时，有：,+,+,机动目录上页下页返回结束,(5)对数函数,机动目录上页下页返回结束,）间接展开,由于将函数展开成带Peano余项表示式的唯一性，,因此，,可采间接的方法对函数进行展开。,即将所要展开的函数拆分,成已展开为带Peano余项的Taylor公式函数和与积的形式。,例如：,3.8.4Taylor（泰勒）公式的应用,1.在近似计算中的应用,误差：,M为,在以,需解问题的类型:,1)已知x和误差限,要求确定项数n;,2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;,3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.,机动目录上页下页返回结束,为端点的区间上的上界。,已知,例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过,解:,取x=1，得：,由于,欲使,由计算可知当n=9时上式成立,因此,带Lagrange余项的Maclaurim公式为：,机动目录上页下页返回结束,说明:注意舍入误差对计算结果的影响。,本例,若每项四舍五入到小数点后6位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为：,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.,机动目录上页下页返回结束,例2.用近似公式,计算,使其精确到0.005,解:,近似公式的误差：,令,解得：,即当,时，,能准确到0.005.,机动目录上页下页返回结束,的近似值，,试确定x的取值范围。,由给定的近似公式计算的结果,泰勒多项式逼近,机动目录上页下页返回结束,几何说明：,若取n5,机动目录上页下页返回结束,则有,例3.计算,解:,原式,第四节目录上页下页返回结束,2.利用泰勒公式计算极限,例4.,计算,解:,由于,用洛必塔法则不方便!,机动目录上页下页返回结束,用泰勒公式将分子展开到,项，,3.利用泰勒公式证明不等式,例4.证明：,证:,机动目录上页下页返回结束,由Taylor公式知，,证:,例5.,且,机动目录上页下页返回结束,试证：,设函数,在闭区间,二阶连续可导，,分别取,得：,由此得：,于是，,即,由题给条件知，,证:,例6.,有,且,机动目录上页下页返回结束,试证明：,设函数,在闭区间,三阶连续可导，,至少存在一点,使得,分别取,得：,下式减上式,得,机动目录上页下页返回结束,即得：,令,内容小结,1.Taylor公式,其中:,当,时为Maclaurin公式。,机动目录上页下页返回结束,(Lagrange余项),(Peano余项),2.常用函数的麦克劳林公式(P140P142),3.泰勒公式的应用,(1)近似计算,(3)其他应用,求极限,证明不等式等.,(2)利用多项式逼近函数,例如目录上页下页返回结束,Taylor-泰勒(16851731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.,他是有限差分理论的奠基人.,Maclaurin-麦克劳林(16981746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机