《heEnd复习》PPT课件

第六章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,多元函数积分学及其应用,三、积分存在的条件和性质,第一节,一、引例,二、多元数量值函数积分的概念,多元数量值函数积分的概念与性质,第六章,第二节,二、直角坐标系下二重积分的计算法,三、极坐标系下二重积分的计算法,二重积分的计算,第六章,一、二重积分的几何意义,四、曲线坐标下二重积分的计算法,求体积:类似定积分解决问题的思想:,2.1二重积分的几何意义,设,底：xOy面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平,行于z轴的柱面.,“分,匀,合,精”,（有界闭区域）,二重积分：,其几何意义就是曲顶柱体的体积,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,二、直角坐标系下二重积分的计算法,说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,三、利用极坐标计算二重积分,四、曲线坐标下二重积分的计算法,广义极坐标变换.,第三节,3、球面坐标系下,三重积分的计算,第六章,2、柱面坐标系下,1、直角坐标系下,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的,物质,求分布在内的物质的,可得,“大化小(分),常代变（匀）,近似和（合）,求极限（精）”,解决方法:,质量M.,密度函数为,定义.设,存在,称为体积元素,若对作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式”极限,1.利用直角坐标计算三重积分,方法1.投影法(“先一后二”),方法2.截面法(“先二后一”),方法3.三次积分法,先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算.,的密度函数,方法:,方法1.投影法(“先一后二”),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,微元线密度,方法2.截面法(“先二后一”),为底,dz为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,投影法,方法3.三次积分法,设区域,利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:,2.利用柱坐标计算三重积分,就称为点M的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,3.利用球坐标计算三重积分,就称为点M的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,第四节,一、立体体积,二、物体的质心,三、物体的转动惯量,四、物体的引力,重积分的应用,第六章,1.能用重积分解决的实际问题的特点:,所求量是,对区域具有可加性,用微元分析法(元素法)建立积分式,分布在有界闭域上的整体量,3.解题要点:,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的方法:,一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域的立体的体积为,二、物体的质心,设空间有n个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,分别位于,为,为,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,采用“分,匀,合,精”可导出其质心公式，即：,则得形心坐标：,若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,(A为D的面积),得D的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,三、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(x,y,z)处的微元,因此物体对z轴的转动惯量:,对z轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对x轴的转动惯量,对y轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,G为引力常数,四、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,因此引力分量为,其中:,第六节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,第一型线积分与面积分,第六章,三、对面积的曲面积分的概念与性质,四、对面积的曲面积分的计算法,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小(分),常代变（匀）,近似和（合）,求极限（精）”,可得,为计算此构件的质量,1.引例:曲线形构件的质量,采用,设是空间中一条有限长的光滑曲线,义在上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,称为积分弧段.,曲线形构件的质量,和对,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,如果曲线L的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广:设空间曲线弧的参数方程为,则,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小（分）,常代变（匀）,近似和（合）,求极限（精）”,的方法,量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,f(x,y,z)是定义在上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积,函数,叫做积分曲面.,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,即,（补）曲面的面积,设光滑曲面,第七节（1）,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的（第二型）曲线积分,第六章,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例:变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移,“分”,“匀”,“合”,“精”,恒力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,2.定义.,设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二型曲线积分.,其中,L称为积分弧段或积分曲线.,称为被积函数,在L上定义了一个向量函数,极限,若为空间曲线弧,记,称为对x的曲线积分;,称为对y的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3.性质,(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)用L表示L的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,三、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,特别是,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧:,类似有,定理,四、两类曲线积分之间的联系,第七节（2）,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,四、对坐标的曲面积分的计算法,三、两类曲面积分的联系,对坐标的（第二型）曲面积分,第六章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0时,说明流入的流体质量少于,当0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为,当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.,流出的,表明内有源（泉）;,表明,内有吸收流体的洞;,根据高斯公式,流量也可表为,方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且,为了揭示