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第二节函数的单调性与极值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最值,一、函数的单调性,从几何图形上来分析,可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。,同样，当时，曲线在内是下降。,我们有如下定理：,注意：,（1）将定理中的闭区间换成其他各种区间定理的结论仍成立。,考察函数,考察函数,例1判定函数的单调性。,解的定义域是。,例2求函数的单调区间。,解的定义域是,令，得，,它们将定义域,当时，,当时，。,所以的单调增加区间是和；单调递减区间是,例3确定函数的单调区间。,解的定义域是,分成三个区间,令，得，又处导数不存在，,，这两点将分成三个区间，,列表分析在各个区间的符号：,二、函数的极值,设函数在点的某邻域内有定义，,1定义,函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和,极小致点统称为极值点。,注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。,2极值存在的必要条件和充分条件,定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。,使的点称为函数得驻点。,反过来，驻点不一定是极值点。,考察函数,另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。,考察函数,定理3（极值的第一充分条件）设函数,在点连续，且在点的某一空心邻域,内可导。,例4求函数的极值。,解的定义域是,令，得驻点。,当时，,当时，,当时，。,在处取得极小值,例5求函数的极值。,令，得驻点，而时不存在。,由定理3知，在处取得极大值。,因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：,不存在,函数的图形如图,函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。,（1）如果，则在取得极大值；,（2）如果，则在取得极小值。,例6求函数的极值。,解的定义域是,令，得到两个驻点。,为函数的极小值。,又,函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。,注意下述三种情况：,（1）如果在上是单调函数；,三、函数的最值,1闭区间a，b上的连续函数,解,解如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为,令，得（舍去）。又,所以函数在处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时，所做的方盒容积最大。,方盒的容积为：,解如图，设容器的底面半径为，高为，,则表面积为,所以,得驻点,由已知,得,故,所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。,S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时,解设,则,解利润为,令，得驻点。,的
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