函数的单调性与最值.ppt

2.3函数的单调性与最值,一、函数的单调性,1.函数的单调性定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;,函数.,2.利用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤:,在区间D上任取x1,x2,且x1x2,计算f(x1)-f(x2),变形成乘积的形式或者是其他可以判断符号的形式,判断f(x1)-f(x2)的符号,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减,下结论(函数f(x)在区间D上的单调性).,3.函数的单调性与奇偶性的关系,奇函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相同;,偶函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相反.,4.判断函数单调性的方法:,定义证明抽象函数的单调性;,概念分析法,利用x增大,逐步推出函数值y是增大还是减少来判断函数的单调性;,导数法;,函数图像法(涉及平移,对称问题等);,复合函数的单调性;,函数的性质法.,二、函数的最值,1.函数的最大值的定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足对于任意的xI,都有f(x)M;存在xI,使得f(x)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.,2.函数的最小值的定义:,一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足对于任意的xI,都有f(x)M;存在xI,使得f(x)=M.那么,我们,称M是函数y=f(x)的最小值.,1.四个函数中,在(0,1)上为增函数的是(),(A)y=-log2x.(B)y=sinx.,(C)y=()x.(D)y=.,【解析】y=-log2x=lox为减函数,y=()x为减函数,y=在(0,+)上为减函数,只有y=sinx在(0,1)上是增函数,故选B.,【答案】B,2.函数f(x)=x2-3x,x2,4的最大值是(),(A)-2.(B)4.(C)-3.(D)2.,【解析】函数f(x)的对称轴为x=,开口向上,f(x)在2,4上为增函数,f(x)max=f(4)=16-12=4,故选B.,【答案】B,3.已知偶函数f(x)在区间(0,+)上单调递增,则满足f()f(2)的解集为.,(3)定义在R上的函数y=f(x)在(-100,2上是增函数,且y=f(x+2)的图像关于y轴对称,则(),(A)f(-1)f(2)f(3).(B)f(3)f(-1)f,(2).,(C)f(-1)f(3)f(2).(D)f(3)2,|x|且x0,-x0或0x.,(3)y=f(x+2)的图像向右平移2个单位后为y=f(x)的图像,y=f(x+2)的图像关于y轴对称,y=f(x)的图像关于x=2对称,f(1)=f(3),y=f(x)在(-100,2上是增函数,f(-1)f(1)f(2),即f(-1)0,则x或x-,故要使f(x)在,+)上是增函数,则,0a.,综上:实数a的取值范围为(-,.,(3)当a=0时,f(x)=log7(2x+1)在(1,+)上是增函数;,当a0时,y=ax2+2x+1的对称轴为x=-0,且开口向上,y=ax2+2x+1在(1,+)上是增函数,f(x)=log7(ax2+2x+1)在(1,+)上是增函数.,综上:实数a的取值范围为0,+).,【答案】(1)(-,-1(2)(-,(3)0,+),例2已知函数f(x)=x3-ax-1.,(1)若a0,请用定义证明函数f(x)在R上单调递增.,(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.,【分析】(1)用定义证明函数的单调性时要注意格式;(2)对存在性问题的探索,首先是假设存在,看能否导出相应结论或矛盾.,题型2函数的单调性与参数问题,【解析】(1)在R上任取x1,x2且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-ax1-1-(-ax2-1),=(x1-x2)(+x2x1+-a),=(x1-x2)(x1+x2)2+-a,x10,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函数f(x)在R上单调递增.,(2)假设存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-1,1)上任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(+x1x2+-a).,-1x1x21,1,x1x21,1,+x1x2+16,(x1+x2)x1x2-a16-a,f(x)在区间2,+)上是增函数,则f(x1)-f(x2)0,16-a0,a16,实数a的取值范围为(-,16.,例3函数f(x)的定义域为R,对任意的实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f()=2,又当x-时,有f(x)0.,(1)求f(-),f(1)的值;,(2)求证:f(x)在R上是单调增函数;,(3)设集合A=y|f(x2)+f(y2)0,AB=A,求实数a的取值范围.,题型3函数单调性的综合,【分析】(1)特值法可以求出f(-),f(1)的值;(2)紧扣当x-时,有f(x)0,由定义证明函数的单调性;(3)充分理解所给条件的含义,将其转化为不等关系,从而求出a的取值范围.,【解析】(1)f(m+n)=f(m)+f(n)-1,f(1)=f()+f()-1=2+2-1=3,f()=f1+(-)=f(1)+f(-)-1,f(-)=f()-f(1)+1=2-3+1=0.,(2)在R上任取x1,x2且x1x2,则f(x1)-f(x2),=f(x1-x2)+x2-f(x2),=f(x1-x2)+f(x2)-1-f(x2),=f(x1-x2)-1,=f(x1-x2-)+-1,=f(x1-x2-)+f()-1-1,=f(x1-x2-),x1x2,x1-x2-,f(x1-x2-)0,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),f(x)在R上是单调增函数.,(3)A=y|f(x2)+f(y2)4=y|f(x2+y2)+14=y|f(x2+y2)3.,f(1)=3,A=y|f(x2+y2)f(1)=y|x2+y21,A=y|-10=x|ax+y+2=0,y-x-3,B=x|-ax-2-x-3=x|(1-a)x-1,当a=1时,B=R,AB=A.,当a1时,B=x|x,AB=A,1,1a2.,当a,AB=A,-1,0a1时,f(x)x2,则1,由于当x1时,f(x)0,所以f()0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)9或x9或x-9.,1.定义法与导数法均可以用来判断函数的单调性,定义法可以分析抽象函数的单调性,如果能求导,导数法对函数的单调性分析更加形象直观,也比较简洁,显示出导数的优越性.,2.只要把握住了函数的单调性或者单调区间,那就可以分析函数的值域与最值.,3.熟悉复合函数的单调性的性质与判定,对解决某些问题可以起到迅速和准确的效果.,例求函数y=的单调区间.,【错解】y=可看成由y=和u=x2+x-6复合而成,而y=单调递增,故只需研究u=x2+x-6的单调性,u=x2+x-6=(x+)2-,u在(-,-上是减函数,在-,+)上是增函数,原函数的单调递增区间为-,+),单调递减区间为(-,-.,【剖析】复合函数的单调性要考查内外函数的公共定义域,错解在于没有先确定f(x)的定义域.,【正解】f(x)的定义域为(-,-32,+),而y=由y=和u=x2+x-6复合而成,又u=x2+x-6=(x+)2-,u在(-,-上是减函数,在-,+)上是增函数,f(x)在(-,-3上是减函数,在2,+)上是增函数.,即原函数的单调递增区间为2,+),单调递减区间为(-,-3.,1.(基础再现)函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最小值为(),(A)12.(B)-.(C)-.(D)-1.,【解析】f(x)=x2+3x+2的对称轴为x=-,f(x)在(-5,-)上单调递减;在(-,5)上单调递增.,f(x)在区间(-5,5)上的最小值f(x)min=f(-)=-,故选B.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),【答案】B,2.(基础再现)已知偶函数f(x)在区间0,+)单调递增,则满足f(2x-1)f()的x取值范围是(),(A)(,).(B),).,(C)(,).(D),).,【解析】偶函数f(x)在区间0,+)单调递增,则f(2x-1)f()等价于|2x-1|,x.故选A.,【答案】A,3.(视角拓展)如果函数f(x)=-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为增函数,则实数a的取值范围是(),(A)a-.(B)a-1.,(C)a-.(D)a=0或a-1.,【解析】当a=0时,f(x)=-x+1在区间(1,4)上为减函数,舍去;当a0时,函数f(x)的对称轴为x=,函数f(x)=-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为增函数,或a-1.,综上,a的取值范围为a-1.,【答案】B,4.(视角拓展)已知f(x)是R上的减函数,则“a+bf(-a)+f(-b)”的(),(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.,(C)充要条件.(D)既不充分又不必要条件.,【解析】若a+b0,af(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b);,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),假设a+b0,a-b,b-a,f(x)是R上的,减函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)相矛盾,故假设不成立,a+b0.,故“a+bf(-a)+f(-b)”的充要条件,故选C.,【答案】C,5.(视角拓展)若0f(2).,(B)f()f(2)f().,(C)f()f(2)f().,(D)f(2)f()f().,【解析】f(x)=|logax|,f()=|loga|=f(x),x(0,1)时,f(x)=logax,显然f(x)在(0,1)上是减函数,0f()f().,f()f()f(2).故选A.,【答案】A,6.(基础再现)函数f(x)=-的单调减区间为.,【解析】令g(x)=-x,(x)=,f(x)=g(x),且x2+2x-30,x1或x-3,g(x)=-x为减函数,(x)=在1,+)上是增函数,f(x)的单调减区间为1,+).,【答案】1,+),二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),7.(视角拓展)已知t1,3,则y=的最小值为.,【解析】y=+2t,易知函数在1,)上为减函数,在(,3上为增函数,t1,3,ymin=y=2.,【答案】2,8.(视角拓展)函数f(