《gs高阶导数》PPT课件

设y=f(x),若y=f(x)可导,则f(x)是x的函数.若f(x)仍可导,则可求f(x)的导数.记作(f(x)=f(x).称为f(x)的二阶导数.若f(x)仍可导,则又可求f(x)的导数,.,43高阶导数,一般,设y=f(x)的导数y=f(x)存在且仍可导,记f(x)的导数为,称为f(x)的三阶导数.,二阶导数.,称为f(x)的,称为f(x)的n阶导数.,二阶以上的导数都称为高阶导数.记Cm(I)为区间I上所有具有m阶连续导数的函数所成集合.为统一符号,有时记y(0)=y,y(1)=y,y(2)=y.,例1.设物体作变速运动.在0,t这段时间内所走路程为S=S(t),指出S(t)的物理意义.,解:我们知道,S=V(t).,而S=V(t),注意到,V=V(t+t)V(t)表示在t,t+t这段时间内速度V(t)的增量(改变量).,从而,故,即,S=V(t)=a(t)为物体,在时刻t的加速度.,例2.,解:,从而,=0,例3.,解:y=nxn1,y=n(n1)xn2,y(3)=n(n1)(n2)xn3,y(n)=n(n1)321xnn=n!,而y(n+1)=(n!)=0,易见,若f(x),g(x)均存在n阶导数,则,类似,设f(x)=a0 xn+a1xn1+a2xn2+an1xn+an,为n次多项式,则f(n)(x)=a0n!,而f(n+1)(x)=0,例4.,解:(1)y=ex,y=ex2,y(3)=ex3,故y(n)=exn.,特别,取=1,得(ex)(n)=ex,(ax)(n)=(exlna)(n),取=1,得(ex)(n)=(1)(n)ex.,(2)由于ax=exlna,由(1)得,=ax(lna)n,=exlna(lna)n,例5.求y=sinx的n阶导数y(n).,解:我们知道y=cosx,y=sinx,y(3)=cosx,y(4)=sinx,但y(n)的通项公式难写,并且不好记.,从而,=cosx,例6.设y=sin2x,求y(n).,解:y=(sin2x),y=(sin2x),=sin2x.,=2sinxcox,例7.求y=ln(1+x)的n阶导数.,解:,定理1.设u=u(x),v=v(x)在点x处具有n阶导数,则uv=u(x)v(x)在点x处也有n阶导数,且,证:用数学归纳法证明.,当n=1时,(uv)=uv+vu,公式成立.,设n=m时公式成立,即,两边求导,得到当n=m+1时,有,例8.设y=x2sinax的10阶导数y(10),解：y=sin(ax)x2,记u=sinax,v=x2,由于v(3)=v(4)=v(10)=0,而,故,例9.设,解：注意到,故,由于,故,一般，若,则y可分解成,其中A,B可用待定系数法确定.,从而可按例9的方法求y(n).,例10.求由方程xy+siny=0所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数.,解：先求y=y(x)的一阶导数.两边对x求导,y是x的函数,解出y,再求y,将y的表达式代入得,例11.设y=y(x)由ex+yxy=1所定,求y(0).,解：方程两边对x求导,y是x的函数,得,(1+y)ex+yyxy=0,易见,当x=0时,y=0,且y(0)=1.,方程(1+y)ex+yyxy=0,两边再对x求导,此时,y,y都是x的函数,有,yex+y+(1+y)2ex+yy(y+xy)=0,即yex+y+(1+y)2ex+y2yxy=0.,将x=0,y=0,及y(0)=1代入,得,y(0)=2,因此,设参数方程,x=(t),y=(t),例12.设,x=acos3t,y=asin3t,求,解：一阶导数,得到,x=acos3t,从而,例13.设,x=a(tsint),y=a(1cost),求,解：,得到,x=a(tsint),从而,例14.,解:x=0是分段函数f(x)的分段点.,由定义,f(0)=(f(x)|x=0,因此,为讨论f(0),须求出f(x)及f(0).,(1),故f(0)=0.,(2)当x0时,f(x)=sinxx.,从而f(x)=cosx1.,综合(1),(2),(3),故f(0)不存在.,例15.,解：,f(0)=0,当x0时,即f(0)=0.,从而,f(0)=0.,同理,f(0)=0.,事实上,故f(3)(0)不存在.,使f