金融经济学(胡利琴)第十讲

第十讲均值方差偏好下的投资组合选择,本章主要内容,均值方差分析的基本思想均值方差分析的基本性质均值方差的计算均值方差前沿组合（不存在无风险资产）均值方差前沿组合（存在无风险资产）最优投资组合选择两基金分离定理,一、均值方差分析的基本思想,Markowitz(1952)发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的资产组合选择理论：均值-方差方法。该方法假设参与者的期望效用只与未来财富或者投资组合收益率分布的均值和方差有关，与其他分布特征无关。参与者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上的使风险最小化的投资组合。通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。,均值方差分析的假设条件,（1）单期投资：是指投资者在期初投资，在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述，如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型，但作为一种简化，对单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。（2）投资者事先知道资产收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。（3）经济主体都是非饱和的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。,一般地，假设经济主体在未来的全部收益或财富是一个随机变量，关于这个未来财富变量的效用函数可以通过泰勒展开式在经济行为主体对于这个随机变量的预期值周围展开。即,两边取期望值后得到：显然，对于具有严格凹的递增效用函数的经济主体而言，其评价风险资产的效用取决于各阶矩，包括三阶以上的中心矩。在均值方差分析中，假设小风险或者三阶以上的矩为零。,二、均值方差分析的基本性质,记定理1：对于期望效用函数u(.)，则（1）对于任意分布的w，存在V(.,.)，使得Eu(w)具有(*)的形式u(.)是二次效用函数（2）对于任意偏好的效用函数u,若证券支付是联合正态分布，则Eu(w)具有(*)的形式定理2：如果证券支付是联合正态分布，并且u(.)0以及u(.)0;(2)2V0;(3)112V0;(4)222V2种风险资产，z代表投资到N种资产上的投资比例，z为一个N维列向量。记为：同时，允许z0，即卖空不受限制。b.为i资产的期望收益率，为风险资产组合的期望收益，同时，令所有N种资产的期望收益率组成的向量为,c.假设N种资产的收益率是非共线性的，即其中任何一种风险资产的随机收益都不能表示为其他资产随机收益的线性组合。则组合的期望收益为：d.组合的方差、协方差矩阵为：,由于我们假定组合中资产的随机收益是非共线性的，所以，该矩阵是非奇异（nonsingular）的。此外，由于组合的方差是非负的，所以，组合的方差必须是一个正定矩阵，即对于任何非0的向量z，都有，因此，整个组合的方差为在总投资一定的情况下，如果参与者具有均值方差偏好，那么投资者关注其均值和方差。,N种风险资产组合的组合前沿1.定义给定收益率水平rp，如果一个资产组合收益率的方差是所有期望收益率为rp的组合中最小的，则称它为一个前沿组合（frontierportfolio），所有前沿组合构成的集合为组合边界。用数学语言描述为：p是一个前沿资产组合当且仅当它的证券组合权重是二次规划问题P的解。,通过上述二次规划问题的求解，我们可以得到组合边界方程，它是均值-方差平面上的一条双曲线，这条双曲线称为均值方差前沿（meanvariancefrontier,MVF）双曲线的顶点对应于一个在所有组合中方差最小的组合，成为最小方差组合（minimumvarianceportfolio,MVP）。,MVF,标准差,均值,mvp,有效组合前沿:期望收益率严格高于最小方差组合期望收益率的前沿边界称为有效组合前沿。位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的前沿边界合称为非有效组合前沿。对于每一个属于非有效组合前沿上的资产组合，存在一个具有相同方差但更高期望收益率的有效资产组合。,组合前沿的性质:(1).任何一个具有均值-方差偏好的经济主体的最优组合是一个均值-方差前沿组合。(2).任意的前沿资产组合都可以由期望收益为0和期望收益为1的两个前沿组合组合而成。(3).任何具有均值-方差效率的资产组合都可由任何两个具有均值-方差效率的组合构成；由两个均有均值-方差效率的资产组合的线性组合构成的资产组合也是具有均值-方差效率的资产组合。,(4).任何前沿边界组合的线性组合仍在前沿边界上。有效资产组合的任何凸组合仍是有效组合，有效组合的集合因此是一个凸集。(5).最小方差组合mvp，与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差。(6).资产组合边界的一个重要性质是，对于前沿边界上的任何资产p，除了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用zc(p)表示，与p的协方差为0。(7).不存在与最小方差资产组合具有0协方差的前沿边界资产组合。,(8).令p为一MVF组合，对于任意组合q，成立Zc（p）性质：（1）zczc(p)=p（2）若p是有效证券组合，则E(rzcp)rmvp，从而是非有效组合；反之成立（3）在均值方差平面上，过p作证券组合前沿的切线，交于纵轴，交点的纵坐标为E(rzcp),均值方差前沿组合（存在无风险资产）,（一）基本假设1.资产组合由一个无风险资产和风险资产构成。2.无风险资产的收益率为rf，风险资产的随机收益分别为r考虑无风险资产情况下的投资者的二次规划问题为：,构造一个拉格朗日函数，可求得也即是，在均值标准差坐标平面上，包括无风险证券在内的所有证券的证券组合前沿是以无风险收益率为顶点的两条射线。,情形1：图见下页在图中e点是射线与风险证券的组合前沿相切的切点。线段rfe任意一支证券组合都是风险证券组合e和无风险证券的凸组合。在线段rfe之外的射线上证券组合都涉及卖空无风险证券并运用收益买入风险证券组合的投资行为。在下方射线上的证券组合涉及卖空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于射线rfe。,情形2：,在图中e点是射线与风险证券的组合前沿相切的切点。在线段rfe的射线上证券组合都涉及正值地买入风险证券的投资行为。在上方射线上的证券组合涉及卖空风险证券组合，同时以其收益买入无风险证券的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，证券投资组合的有效集位于上方射线上,情形3：前沿证券组合的有效集应当是位于射线上的前沿组合。在此情形下，连接无风险证券和风险证券组合的切线的“切点”不存在。,仅考虑情形一图中的直线为效率组合前沿，该直线的方程可写为：rT、T表示切点组合的期望收益和标准差，切点组合对应着投资者将所有财富投资于风险资产组合。该方程表明无风险资产与风险资产有效组合的期望值收益和标准差呈线性关系。,该切线称之为资本市场线（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的经济主体都在资本市场线上选择最优的资产组合。CML的斜率为：,其分子为组合的风险溢价。该分式刻画了组合单位风险所带来的风险溢价，我们称其为夏普比率（SharpRatio）。同样地，我们可知，有无风险资产和风险资产构成的组合的夏普比率与风险资产组合T的夏普比率相等。,定理：当存在无风险证券时，MVF可由无风险证券和切点组合组合而成。即意味着在均值方差世界中，经济主体只持有均值-方差有效组合，即无风险资产和风险资产的组合。CML的斜率看作是个体在均衡状态下的期望收益率和标准差的边际替代率（MRS）。在均衡状态下，每一个体最优状态下的边际替代率相等。由于所有个体面对同一条有效边界，且无风险收益率相等，从而每个个体持有的最优风险组合是一致的。,定理：存在无风险证券时，如果p是一个MVE组合，那么对于任意组合q，成立如果将p看成是切点组合T，成立在均值方差世界中，参与者只持有均值方差有效组合，也就是持有无风险证券和切点组合的组合。,最优投资组合选择,确定了有效组合前沿的形状之后，投资者就可以根据自己的风险偏好（无差异曲线群）选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合了。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点O，如图所示：,O,B,N,不存在无风险资产的情形,有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性就额定了有效集和无差异曲线的切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。对投资者而言，有效集是客观存在的，它是由资本市场线决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险收益偏好决定的。风险厌恶程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N。风险厌恶程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。,存在无风险资产的情形,三、两基金分离定理,1.两基金分离定理（Two-FundSeparationTheorem)（最先由Tobin提出的）的含义根据有效组合边界的性质，在均值方差组合的有效组合前沿上，任意两个有效组合的线性组合构成整个组合的有效前沿。在所有风险资产组合的有效组合边界上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其它的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效组合的线性组合生成。故投资者仅需持有两个前沿组合或者共同基金的线性组合。,两基金分离定理的金融含义（共同基金定理）,共同基金是专门从事分散化投资的金融中介机构。共同基金一方面发行小面额的受益凭证作为自己的负债，另一方面则把筹集到的大笔资金进行分散化投资，形成自己的投资组合。如果有两家不同的共同基金，它们都投资于有风险资产，而且都经营良好，经营良好意味着它们的收益/风险关系都能达到有效组合边界。,两基金分离定理告诉我们，任何别的投资于有风险资产的共同基金，如果经营良好（即能够达到有效组合边界）的话，其投资组合一定与原来那两个共同基金（经营良好）的某一线性组合等同。只要能找到这样两家不同的经营良好的共同基金，把自己的资金按一定的比例投资于这两家基金，就可以与投资于其他经营水平高的共同基金获得完全一样的效果。这一结论对投资策略的制定无疑有重要的意义。,两基金分离,定义：如果存在两个共同基金1和2，使得对于任何资产组合q