高等数学无穷级数PPT课件.ppt

无穷级数,第一节数项级数及其敛散性第二节幂级数,一、常数项级数及其敛散性1常数项级数的概念定义1设给定一个数列则表达式（111）称为常数项无穷级数，简称数项级数，记作即其中第n项称为一般项或通项,第一节常数项级数及其敛散性,例如，级数的一般项为又如级数的一般项为简言之，数列的和式称为级数.定义2设级数的前项之和为称Sn为级数的前项部分和当依次取1，2，3，时，,新的数列，数列称为级数的部分和数列若此数列的极限存在，即(常数),则S称为的和，记作此时称级数收敛如果数列没有极限，则称级数发散，这时级数没有和,当级数收敛时，其部分和是级数和S的近似值，称为级数的余项，记作，即例1判定级数的敛散性.解已知级数的前n项和是：,因为,所以这个级数收敛,其和为1.,例3讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.,解(1)前n项和当时，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是,所以级数发散.当时，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数发散.综上所述，等比级数，当时收敛,当时发散.结论记住,注意几何级数的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.,2数项级数的基本性质性质1如果级数收敛，其和为s,k为常数，则级数也收敛，其和为ks；如果级数发散，当k0时，级数也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.,性质2若级数与分别收敛于与，则级数，收敛于性质3添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质4若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛.,例如级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的.,性质5（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则例5判别级数的敛散性解因为所以级数发散.例6判别级数的敛散性.,解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注意性质5可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面的例正说明了这一点：，但级数发散.,例7证明调和级数是发散级数.证调和级数部分和如图，考察曲线,，所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有,而，表明A的极限不存在，所以该级数发散.,二、正项级数及其敛散性如果0（n=1,2,3），则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例1证明正项级数是收敛的证因为于是对任意的有,即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛.定理2（比较判别法）设和是两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.,例2讨论级数（）的敛散性（证明了解，结论）解当时，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数,对应的各项，而所得级数是等比级数，其公比为，故收敛，于是当时，级数收敛.综上所述，级数当时发散，当时收敛.注意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关级数敛散性的结论必须牢记.,例3判定级数的敛散性.解因为级数的一般项满足而级数是p2的级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.,重要参照级数:,等比级数,p-级数。,定理3比较判别法的极限形式:,注:,须有参照级数.,比较审敛法的不方便,解,发散.,故原级数收敛.,定理4（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，并且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例6判别下列级数的敛散性(1)；(2),解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.,解,解,定理6(根值判别法，柯西判别法),设为正项级数，且（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散；（3）当时级数可能收敛也可能发散,注意:,解,解,比值审敛法失效.,根值审敛法也一定失效.,改用比较审敛法,要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法如果，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.,三、交错级数及其敛散性级数称为交错级数.定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数收敛，其和S，其余项,例6判定交错级数的敛散性.解此交错级数，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛定义3对于任意项级数,若收敛，则称是绝对收敛的；若收敛，而发散，则称是条件收敛的.,定理5绝对收敛的级数必是收敛的.例7判定级数的敛散性.解因为，而级数收敛，故由比较判别法可知级数收敛，从而原级数绝对收敛.,例8判别级数的敛散性，说明是否绝对收敛.解因为故由比值判别法可知级数收敛，所以原级数绝对收敛.,例9判别级数是否绝对收敛.解因为故由比值判别法可知级数发散，从而原级数不是绝对收敛.,例10证明级数条件收敛.证由莱布尼兹判别法知级数收敛，而为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛.,第二节幂级数一、幂级数的概念1.函数项级数如果级数的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数，un(x)称为一般项或通项.当x在I中取某个特定值时，函数项级数就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点为这个级数的一个收敛点。若发散，则称点为这个级数的发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级数，因此有一个确定的和S，在收敛域内，函数项级数的和是x的函数,S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数，即其中x是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作，则在收敛域上有2.幂级数的概念形如,的函数项级数，称为的幂级数，其中常数称为幂级数的系数.当0时，幂级数变为称为x的幂级数.(1)怎么求幂级数的收敛半径x的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数,由比值判敛法其中当时，若，即，则级数收敛，若即，则级数发散.这个结果表明，只要就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂,级数发散，当x=R时，级数可能收敛也可能发散.称为幂级数的收敛半径.当时，则级数对一切实数x都绝对收敛，这时收敛半径.如果幂级数仅在x0一点处收敛，则收敛半径R0.定理1如果x的幂级数的系数满足则(1)当时，,(2)当时，(3)当时，(2)幂级数的收敛区间若幂级数的收敛半径为R，则（-R，R）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.,例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域(1)(2)(3)解(1)因为所以幂级数的收敛半径.所以该级数的收敛域为（-，+）；,(2)因为所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散；当x=-1时，级数为交错级数，收敛故该级数的收敛域为-1,1).,(3)因为所以所给幂级数的收敛半径.因此没有收敛区间，收敛域为，即只在处收敛.,例2求幂级数的收敛半径解所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径当，即时，所给级数绝对收敛；当，即时，所给级数发散.因此，所给级数的收敛半径.,二、幂级数的性质性质2设记，则在（-