2020届高考数学复习3立体几何第3讲空间角的计算练习理.docx

第3讲 空间角的计算专题复习检测A卷1在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，等于()ABCD0【答案】D【解析】()|cos，|cos，|cos|cos0，cos，0.2已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为()ABCD【答案】C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC平面BB1D1D，所以(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量又(0,4,2)，所以cos，即直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为.3已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()ABCD【答案】B【解析】如图，过P作PP平面ABC于P，则P为平面ABC的中心连接AP，延长交BC于点M，则PAP即为PA与平面ABC所成的角由VSh，得h，即PP.又APAM1，所以tanPAP.所以PAP.故选B4二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150B45C60D120【答案】C【解析】由条件知0，0，因为，所以|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.所以cos，则，120，即，60.所以二面角的大小为60.5(2018年广东东莞模拟)如图，圆锥的底面直径AB2，高OC，D为底面圆周上的一点，AOD120，则空间中两条直线AD与BC所成的角为()A30 B60C75 D90【答案】B【解析】如图，取弧AB中点E，以O为原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系由题意得A(0，1,0)，B(0,1,0)，C(0,0，)，D，则，(0，1，)设直线AD与BC所成的角为，则cos ，60.故选B6(2019年上海改编)已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角的余弦值为_【答案】【解析】cos .7如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_【答案】90【解析】不妨设棱长为2，则，cos，0，所以，90.8正方形ABCD所在平面外有一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为_【答案】45【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)于是(0,1,0)取PD中点为E，则E，.易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，cos，平面PAB与平面PCD的夹角为45.9(2017年新课标)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点(1)求证：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值【解析】(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.E，F分别是PD，PA的中点，EFAD，EFAD.又BADABC90，BCAD.又BCAD，EFBC，EFBC.四边形BCEF是平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，CE平面PAB. (2)由已知得BAAD，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，取AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)BM与底面ABCD所成的角为45，n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，|cos，n|，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则x，y1，z.由解得或(舍去)设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则得可取m(0，2)，则cosm，n，二面角MABD的余弦值为.10(2019年河南郑州模拟)如图，ABC中，ABBC2，ABC90，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PBBE.(1)求证：EF平面PBE；(2)N为线段PF上的动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值【解析】(1)因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EFBC.因为ABC90，所以EFBE，EFPE.又因为BEPEE，所以EF平面PBE.(2)因为EF平面PBE，EF平面BCFE，所以平面BCFE平面PBE.由题意得PBPEBE，取BE的中点O，连接PO，则POBE，PO平面BCFE.以O为原点，为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.可得P，B，C，F，则，.设平面PCF的法向量为m(x，y，z)，则取x2，可得y2，z2，则m(2，2，2)设(01)，则.设直线BN与平面PCF所成角为，则sin |cos m，|.对于22122，当时取得最小值，此时sin 取得最大值.所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为.B卷11已知三棱锥SABC的各棱长均相等，O为ABC的中心，E是SA的中点，则异面直线OE与AB所成角的正弦值为()ABCD【答案】D【解析】如图，取SB的中点F，连接OA，OB，OF，EF，则EFAB，且EFAB，OEF(或其补角)就是异面直线OE与AB所成的角O是等边三角形ABC的中心，设ABC边长为1，OA，SO底面ABC.SOA90.在RtSOA中，E是斜边SA的中点，OESA.同理可得OF.又EFAB，OEF是正三角形，OEF60，即异面直线OE与AB所成角的正弦值为.12(2019年浙江)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则()A，B，C，D，【答案】B【解析】方法一：如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DEAC于E.易得PEVG，过P作PFAC交VG于F，过D作DHAC交BG于H，则BPF，PBD，PED，则cos cos ，可得；tan tan ，可得.故选B方法二(特殊图形法)：设三棱锥VABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cos ，所以sin ，sin ，sin ，则，.故选B13P是二面角AB棱上的一点，分别在平面，上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_【答案】90【解析】不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb.()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.，即二面角AB的大小为90.14(2019年天津)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长【解析】(1)证明：以A为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh，则F(1,2，h)易知(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又(0,2，h)，0.又直线BF平面ADE，BF平