B4积分形式的基本方程

B4积分形式的基本方程,本章应掌握：追随流体质量体建立动力学方程:质量体是不变的质点系(闭系统)。适于研究流体流动的积分形式各基本方程。用积分形式的基本方程求解：当只要求了解流体流动动力学问题的总体性能关系（如流体作用在物体上的合力，总的能量传递等），而不要求了解流动过程的详细情况时，用这种方法简单方便。,【第10讲】,B4.1流体系统的随体导数,B4.2积分形式的连续性方程,控制体,控制体：相对于某参照坐标系不随时间变化（定常流）的封闭曲面中所包含的流体（在涡轮机进出口所限定的体积内的气体）。控制体的边界为控制面。质量体的体积和界面为D(t)，(t)，不是时间的函数。性质：控制体的几何形状和体积均不变。控制体的界面可有流体流入或流出（相当热力学中的开系统）。控制体的边界面有力的相互作用。控制体的边界面可有能量交换（热交换或外力作功）。,B4.1流体系统的随体导数,局部导数/t：控制体内某物理量总和随时间的增长率。如控制体内总质量:其局部导数：随体导数(物质导数)D/Dt：质量体内某物理量总和对时间的增长率。如质量体内总质量:其随体导数：在流场中取一控制体CV,表面为控制面CS.设(r,t)为系统内质量动量动量矩和能量等物理量在t时刻的空间分布函数,在系统上的积分为:Nsys为系统广延量(系统质量动量动量矩和能量等),输运公式(雷诺输运定理),输运公式是把体系中与流体体积有有关的随流物理量的随流导数以控制体形式来表示。定理任一瞬时，质量体内物理量Q的随体导数等于该瞬间形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和。随体导数=局部导数+控制面上的输运量说明某瞬时间控制体内的流体所构成的体系，它所具有的随流物理量的随流导数，等于同一瞬间控制体中所含同一随流物理量的增加率与该物理量通过控制面A的净流出率之和。若流体为定常,局部导数为0:,B4.1.1控制体的选择,对固定的不变形的控制体：体积元不随时间变化,局部导数的微分和积分运算可互换:对匀速运动的控制体:坐标系固结在控制体上,迁移项的速度为相对速度:控制面的选取:取在物理量已知的位置上或需求解的位置上.取控制面与速度矢量互相垂直.当流场有界时,取包含流体系统的简单形状控制体.(如图中CV2),CV2,CV1,B4.2积分形式的连续性(质量)方程,系统质量为定义：质量体是封闭，总质量不变。利用运输公式,得积分形式的连续性(质量)方程：说明控制体内流体质量的增长率，等于通过控制面的流体净流进率。,B4.2.1固定的控制体,对固定不变形的控制体:根据高斯公式:得：取积分值为0,有微分形式的连续性方程:,1.不可压流体流,不可压流体流动(为常数)：容积流量不变。说明对不可压流体流动，当不存在内部源时,经过控制面流进控制体的流体容积流量,等于流出控制体的流体容积流量。对定常和非定常流都适用。一维不可压流动连续性方程若控制面上有多个出入口:,A1,A2,v1,v2,n1,n2,CS,2.可压流体流定常流动,可压流体定常流（/t=0）：质量流量不变。对密度可变的定常流动:表明:对固定的控制体内的可压流体流定常流动,通过控制面净流出的流体质量流量为0.一维可压流动连续性方程:表示可压流体在管中作定常流动时,在任一截面上的质量流量守恒.若控制面上有多个出入口:,n2,n1,A2,A1,A侧,U1,U2,1,2,沿流管质量守恒方程,流经流管截面的质量流量相等。表明定常不可压流中流入流管的体积流量等于流出流管的体积流量。一维定常流(可压时):通过各横截面的流量相等。1V1A1=2V2A2即VA=常数定理在一维定常流中,通过同一流管任意截面上的流体质量(或重量)流量保持不变.对不可压流(=常数):A1V1=A2V2=Q=常数定理对不可压一维定常流中，流速随截面积缩小而增大。,B4.2.2运动的控制体,当物体在流体中运动时,常将控制体固结在物体上一起运动,速度改用相对速度,可得到运动控制体形式的连续性方程:若控制面上有多个出入口:,例B4.1,po,o,p,V,例容器中的空气经管道向外界排气。已知管道出口处气流密度和压强为均匀分布，速度则按抛物线规律分布V=Vm(1-r2/ro2),容器和管道的总容积为0.32m2,排气管半径ro=0.025m,当容器po=1.4*105Pa,To=277.8K,测得管道出口气流最大速度Vm=32m/s,求此时排出的空气流量及容器中空气密度的时间变化率。解：设Q为排出的空气流量，则：Q=VdA=oroVm(1-r2/ro2)2rdr=ro2Vm=o=po/RTo故：Q=ro2Vmpo/RTo=0.0552(kg/s)利用连续方程得:v（/t)dv=-Q因为空气密度是均匀分布的,则:(/t)dv=-Q/t=-Q/v=-0.0552/0.32=-0.17(kg/m3.s)负号表示空气密度是随时间而减少的。,【第11讲】,B4.3伯努利方程及其应用,B4.4积分形式的动量方程及其应用,B4.3伯努利方程及其应用B4.3.1沿流线的伯努利方程,无粘,重力场:整理得:由几何关系:沿流线s方向的质点导数:无粘性流体沿流线的运动微分方程(一维欧拉运动方程):,s,p,g,dz,ds,s,y,z,x,O,v,伯努利方程,沿流线积分:得:欧拉运动方程沿流线积分的积分(适合于可压无粘不定常流动):伯努利方程(沿流线):流线上任两点:应用条件:无粘流;定常流;重力场;沿流线;不可压流.,伯努利方程的物理和几何意义,1.物理意义2.几何意义,位能(重力势能),压能(压强势能),动能,总势能,机械能,H线-总水头,Hp线,水头线,0,元线,0,z,位置高度(高度水头),测压管高度(压强水头),流速高度(速度水头),欧拉方程的积分,理想流体运动微分方程在一般情况下是不能积分的，只有在几种特殊流动情况下才能进行积分(称为伯努利方程)（1）定常流中运动微分方程沿流线的积分：V2/2+（1/)dp-U=C(沿流线)或(V22-V12)/2+12（1/)dp+(U1-U2)=0(沿流线)（2）无旋流动中运动微分方程的积分：d(/t)+d(V2/2)=dU-（1/)dp积分得,理想流体非定常无旋流动伯努利方程:/t+V2/2+（1/)dp-U=C(t)(整个流场),伯努利方程讨论,（2）方程与(1）方程相比,多了非定常项,且积分常数在整个流场相同;如果流动是定常流,有旋流沿流线的积分伯努利方程和无旋流的伯努利方程在形式上完全一样,仅是积分常数不同,前者为沿流线C为常值,后者则整个流场C都为常值。理想流体一维定常流动的为无旋流，故整个流场C都为常值。欧拉运动微分方程：gdz+dp+VdV=0gz+V2/2+dp=C(t)(整个流场),例B4.2,A,C,B,【例】在海平面上,有均匀流流过一个机翼,远前方直匀流的静压p=p=101200N/s,流速v=100m/s。已知A，B,C三点的速度分别是vA=0,vB=150m/s,vC=50m/s。解:流动是无旋的,伯努利常数全场通用,由远前方条件得p0=p+(v)2/2=101200+1.225*(100)2/2=107325N/s2这是通用全场的常数。于是：pA=p0-(vA)2/2=107325N/s2pB=p0-(vB)2/2=107325-0.6125*22500=935438N/s2pC=p0-(vC)2/2=107325-1531=105794N/s2,例B4.3,C,O,r,D,B,A,p,p+(p/r)dr,v,有二维绕其固定轴线的旋转流动,其v正比于半径r,即v=kr,求证伯努利常数C是r的函数。解：伯努利常数C为：C=p+v2/2对半径取导数：C/r=p/r+vv/rp/r必须平衡微团的离心力,则:(p+p/r)(r+dr)d-1/2p+p+(p/r)dr(r+dr-r)d-prd=v2/r(r+r+dr)/2ddr左侧第二项是AD面和BC面上的压力在r向的投影.略去二阶小量,得：p/r=v2/r代入C/r式,并将v=kr代入得:C/r=2k2r该流动为有旋流,在柱坐标中微团角速度为:=1/2(v/r1/rvr/+v/r)=1/2(k+k)=k则:C/r=2v【说明】在有旋流场上,伯努利常数跨流线是要变的。,B4.3.2沿总流的伯努利方程,1.沿流线法线方向的速度压强关系式由几何关系:整理得:沿流线法线方向有压强梯度:沿流线的法线方向的伯努利方程:应用条件:无粘流;定常流;沿流线法线方向;不可压流.,s,p,g,dz,ds,s,y,z,x,O,v,沿直线流线法线方向的压强公式,非均匀流:渐变流和急变流;渐变流:流体质点的迁移加速度很小的流动,即流线近于平行直线的流动.否则为急变流.当流线为直线时,R得:(沿流线法线方向)表明:不可压无粘流作直线定常运动时,沿流线法线方向的压强变化规律与静压强的分布规律相同.,渐变,急变,渐变,2.沿总流的伯努利方程,沿流束的伯努利方程:用平均速度V代替不均匀的速度分布,引入动能修正因子:得:沿总流的伯努利方程应用条件:无粘流;定常流;不可压流;A1和A2截面符合缓变流条件(其他截面允许有急变流).,1,1,2,2,0,0,u2,u1,z1,z2,dA1,dA2,1,2,H,v,例B4.4毕托管,h,.,.,将流体动能转化为压能,从而通过测压计测定流体运动速度。解：毕托管为弯成直角形状的细管，开口正对来流方向,水流冲击使毕托管中水柱上升。若在毕托管口前1点处立一个测压管，其静压水头p/g=H。设在毕托管管口前1点速度为v，压强为p=gH。毕托管管口后2点是速度为0的驻点，驻点压强为p0=g（H+h），此时管中的水柱高p0/g=H+h称为总水头。对1，2点列伯努利方程得：p/g+v2/2g=p0/g或p+v2/2=p0说明：一点上的总压强等于静压强与动压强之和。可得：v2/2g=（p0-p）/g=1/gg（H+h）-gH=h则v2/2g称为速度水头，可用一段水柱高表示，等于毕托管中总水头与测压管中静水头之差。,A1,A2,H,U2,U1,例B4.5文丘里流量计,当测定流动的进口与喉部压差和进口与喉部的面积,可计算通过文丘里管的流量。解：流动是定常、理想和不可压，假定管截面流速均匀分布。由不可压流连续方程：U1A1=U2A2伯努利公式：p1/1g+U1/2g+z1=p2/2g+U2/2g+z2文丘里管水平放置（z1=z2）：(p1-p2)/=(U2U1)/2=U2/2(A2/A1)U2/2流量计测得：p1-p2=(-)gH(为U形管中液体密度。),A1,A2,H,U2,U1,例B4.5,U2=2(-)gH/(1-(A2/A1)2)1/2Q=A2U2=A22(-)gH/(1-(A2/A1)2)1/2对粘性流体：Q=A22(-)gH/(1-（A2/A1)2)1/2（为修正系数0.9）如已知H=5cm汞高,A2/A1=1/4,A2=50cm2,=0.92,求通过文丘里管的流量。汞与水的密度比：/=13.6U2=212.69.80.05/(1-(0.25)2)1/2=3.63m/sQ=A2U2=0.920.0053.63=0.0167m3/s,B4.3.3伯努利方程的水力学意义,水头形式的沿总流伯努利方程:,位能(重力势能),压能(压强势能),平均动能,平均势能,平均机械能,例B4.6水头线,总水头线:粘性流体的总水头线沿程单调下降,用水力坡度J.测压管水头线:用测压管水力坡度Jp.,H,Hp,水头线,0,0,z1,位置高度(高度水头),测压管高度(压强水头),流速高度(速度水头),H1,z2,H2,hw,沿程损失,伯努利方程,B4.3.4不定常流伯努利方程,无粘性不可压不定常流动时,除动能,位能和压强势能外,还包括由不定常流动产生的惯性力所作的功.沿流线的伯努利方程:一维平均流动的水头形式:(沿流束)单位重量流体的当地加速度引起的水头变化,积分沿流束(流管)进行.,惯性水头,动能,单位重量流体的惯性水头,位能,压强势能,【第11讲】,B4.3伯努利方程及其应用,B4.4积分形式的动量方程及其应用,伯努利方程,B4.4积分形式的动量方程及其应用B4.4.1固定的控制体,流体的空间分布(单位体积流体的动量为v),流体系统的动量为流体系统的动量方程为:对固定不变形的控制体系统动量的随体导数:对固定不变形的控制体的流体动量方程:定常流:,体积力和表面力,体积力为重力,Psys(t0),Sys(t),CS,F,CV,1.沿流管的定常流动,沿一维流管的定常流动,净流出控制体控制面CS的动量流量为:沿流管的定常流动动量积分式:沿流管的定常流动动量方程(一维定常流动动量方程):动量方程：质量体内动量增长率等于该瞬时作用在质量体上的外力(体积力和表面力)之和。,A1,A2,v1,v2,n1,n2,CS,F,动量修正系数=1.0,一维可压流:mout=min=m,动量方程,定理在定常流中，作用在控制体上全部外力的合力,等于从控制面流体动量的流出率与从控制面流体动量的流入率之差值。F=Q(V2-V1)在重力场:F=F表面力+F重力+p1A1+p2A2=Q(V2-V1),直角坐标系:Fx=Q(Vx2-Vx1)Fy=Q(Vy2-Vy1)Fz=Q(Vz2-Vz1),2.具有多个一维出入口的控制体上的定常流动,当控制面具有多个一维出入口的控制体上的定常流动:,定常流控制体积积分型守恒方程的应用,n1,n2,p2,U2,U1,p1,x,y,o,D,C,B,A,1,2,1.理想不可压流流过水平弯管的定常流弯管入,出口面积A1,A2,入口流速U1和压强p1,流体密度,弯管转角。流动时弯管上的合力：F=-gVk-（p1+U12）A1n1（p2+U22）A2n2合力=垂直力(弯管内水重)+水平力(弯管动量变化和压强合力)直角坐标系:流体对管道的作用力为FRx=p1A1sin1p2A2cos2+q(v1sin1-v2cos2)FRy=p2A2sin2p1A1cos1+q(v2sin2v1cos1)作用力Fd及与x轴正向的夹角:FR=FRx2+FRy21/2=tg-1(Fy/Fx,守恒方程的应用特例,特例1直角变径弯管道1=2=0,q=v1A1=v2A2:FRx=(p2+v22)A2,FRy=(p1+v12)A1特例2直角等径弯管道1=2=0,A=A1=A2,q=vA:FRx=(p2+v2)A,FRy=(p1+v2)A特例3反向等径弯管道1=0,2=180,A=A1=A2,q=vA,v=v1=v2:FRx=0,FRy=(p1+p2+2v2)A特例4逐渐收缩直管道1=0,2=90,q=v1A1=v2A2:FRx=0,FRy=(p1+v12)A1(p2+v22)A2特例5等径直管道1=0,2=90,A=A1=A2,q=vA,v=v1=v2:FRx=0,FRy=(p1-p2)A,例B4.7,V1,V2,p1,p1,y,x,Fx,Fy,Fd,o,例在弯成90度的收缩管中有水流，水流流量为78.5kg/s。若忽略水流自身的重量，管进口截面直径为10cm，水压为4.9*105pa，出口截面直径为8cm，水压为4.2*105pa，求水流对管壁的作用力。解：取控制体的侧表面为水在弯管内流动的边界，它的两个端截面与水流速度方向垂直，则由动量方程得：Fx+p1A1=Q(0-V1)Fy+p2A1=Q(-V2-0),V1,V2,p1,p1,y,x,Fx,Fy,Fd,o,例B4.7,而由质量流量得：V1=Q/1A1=78.5/(1000*3.14*0.12/4)=10（m/s）V2=Q/2A2=78.5/(1000*3.14*0.082/4)=15.6（m/s）Fx=4.9*105*3.14*0.12/4+78.5*10=4640(N)Fy=4.9*105*3.14*0.082/4+78.5*15.6=3330(N)水流对管壁的作用力:Fd=(-Fx)2+(-Fy)21/2=(4640)2+(3330)21/2=5712(N)作用力Fd与x轴正向的夹角:=tg-1(Fy/Fx)=tg-1(3330/4640)=3540,d,n,y,x,U2,U1,U,n2,n1,d1,d2,E,D,C,A,B,F,例B4.8水平定常平面射流冲击固定平板,射流速度U,宽度d,密度和环境压强pa,平板法向与射流交角。作用在单位厚度平板上的合力则：-U2d(icos+jsin)+U12d1j-U22d2j=-FF=U2dcosi，d1-d2=dsin联立d=d1+d2得：d1=d(1+sin)/2，d2=d(1-sin)/2特例1射流垂直于固定平板令=0:FRx=U2d,FRy=0特例2射流垂直于弯道令出口流速方向与x轴夹角为:FRx=U2d(1-cos),FRy=0特例3射流垂直于反向等径弯道令出口流速方向与x轴夹角=180:FRx=2U2d,FRy=0合力作用点y0=(d22-d12)/(2dcos)=dtg/2，x0=0,B4.4.2均匀运动的控制体,当控制体作均匀运动时,流体动量方程:定常流:具有多个一维出入口的控制体上的定常流动:,【第12讲】,B4.5积分形式的动量矩方程,B4.6积分形式的能量方程,B4.5积分形式的动量矩方程B4.5.1固定的控制体,流体的空间分布(单位体积流体的动量为v),流体系统的动量矩为流体系统的动量矩方程为:对固定不变形的控制体系统动量矩的随体导数:对固定不变形的控制体的流体动量矩方程:,合力矩,Lsys(t0),Sys(t),CS,F,CV,固定的控制体,1.定常流动量矩方程定常流动时,动量矩随体导数中的当地项为0,只有迁移项.动量矩方程为:2.定轴旋转流场动量矩方程由转轴产生的力矩Ts(轴矩):忽略重力和表面力,流动为定常流动,(用于涡轮机械)定轴旋匀速转流场动量矩方程为:,2,d2,d1,A,B,C,D,3.欧拉涡轮机方程,已知叶轮Z个叶片等角速度旋转,流体质量m,叶轮入出口直径d1,d2,叶轮流入出相对速度W1,W2,az安装角1,2。假定叶片很多很薄,流动为平面流(轴向取单位长度)。旋转坐标固结叶轮上，控制体：ABCD。控制体上的质量守恒：故连续方程为:其中A1=d1/Z，A2=d2/Z，极坐标：动量矩守恒:欧拉涡轮机方程轴功率:,2,r2,r1,V2u,V1u,V2,V2r,V1r,用几何方法表示的速度关系式，求叶片的进出口相对速度。叶轮中流体质点的绝对速度C为相对速度W和牵连速度u之和：C=W+rL=M（r2C2cos2-r1W1cos1）P=L=M（u2C2uu1C1u）如P0，即u2C2uu1C1u0，叶轮对流体做功压缩机；如P0，即u2C2uu1C1u0，流体对叶轮做功涡轮机。对于旋转轴（z轴）的动量矩方程：Mz=m（V2ur2-V1ur1）叶轮机的功率:P=Mz=m(V2ur2-V1ur1)=m(V2uU2-V1uU1)式中U2,U1u分别表示叶轮在r2,r1处的圆周速度。外力对流过叶轮机的单位质量流体的作功量为：P/m=V2uU2-V1uU1如果作用在流体上的外力矩为0，则：V2ur2=V1ur1=Vur,速度三角形法,B4.5.2旋转的控制体,以非匀角速度旋转或出入口流动,考虑旋转坐标系的惯性力.旋转的控制体的动量矩方程为:忽略重力和表面力矩,可简化为:,B4.6积分形式的能量方程,系统能量关系为:流动系统:系统能量:流体系统的能量方程:,系统的能量,系统对外界做的功,外界传入热量,单位质量流体的储存能,单位质量流体的内能,单位质量流体的动能,单位质量流体的重力势能,单位时间内外界传入系统的热能,单位时间