北京航空航天大学材料力学课件-刘华-6第六章--弯曲应力

Page,1,6-2弯曲正应力,第六章弯曲应力,6-1引言,6-3弯曲切应力,6-4梁的强度条件,6-5梁的合理强度设计,6-6双对称截面梁的非对称弯曲,Page,2,Page,3,伽利略：关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明，1638.,历史回顾,6-1引言,Page,4,弯曲正应力,弯曲切应力,弯曲时横截面上的应力,Page,5,对称弯曲,纯弯曲,+,外力作用在纵向对称面上,横截面上只有弯矩,对称弯曲与纯弯曲,Page,6,6-2弯曲正应力,横截面上的内力与应力的关系：,弯曲应力问题是一个静不定问题,研究思路静不定问题的分析方法几何、物理、静力学三方面分析,几何方面,观察外部变形,方法：,Page,7,实验观测与假设（动画）,横截面：上宽度变宽，下宽度变窄。,1、平面假设：变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交,2、单向受力假设：梁内各纵向纤维仅受轴向应力,Page,8,推论：,一侧伸长，一侧缩短,存在既不伸长，也不缩短的面,中性层,中性轴：中性层与横截面的交线,Page,9,建立几何方程：,考察线段ab的变形：,变形前：,变形后：,几何方程,Page,10,2、物理方面：,由胡克定律和单向受力假设：,y偏离中性轴的坐标值中性层的曲率半径,中性轴位置？的大小?,Page,11,3、静力学方面：,确定中性轴位置,确定中性层的曲率半径,定义,Iz:截面对z轴的惯性矩,EIz:梁截面的弯曲刚度,Page,12,定义,（抗弯截面系数）,正应力沿截面如何分布？,Page,13,典型截面的惯性矩与抗弯截面系数,Page,14,附录A截面几何性质,截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。,拉压：,扭转：,弯曲：,A,IP,WP,Iz,Wz表征截面几何性质的量,我们已经学习了哪些截面的几何性质？,Page,15,A-1静矩与形心,一、静矩,积分,分别称为对坐标轴z和y的静矩或一次矩。,静矩的量纲：,Page,16,二.形心,静矩：,回顾形心的计算公式：,若坐标轴通过形心时，截面对该轴的静矩为零，反之，若截面对某轴的静矩为零，该轴必通过截面形心。,Page,17,三、组合截面的静矩与形心,Page,18,例：确定下图所示截面的形心位置,解：将截面分为两部分，利用组合截面的公式：,yC1=5mmyC2=10+60/2=40mm,Page,19,A-2极惯性矩惯性矩惯性积,一、截面对o点的极惯性矩或二次极矩,二、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩,三、一个恒等式,Page,20,五、截面对z轴或y轴的惯性半径,四、截面对z轴与y轴的惯性积,六、惯性矩与惯性积的组合截面公式,Page,21,A-3惯性矩与惯性积的平行轴定理,一、惯性矩的平行轴定理,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,同理:,Page,22,Cy0z0形心直角坐标系,Oyz任意直角坐标系,二者平行,二、惯性积的平行轴定理,Page,23,例：求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩,1、求全截面形心轴位置,2、求对个部分自身形心轴的惯性矩,解：方法一，如图将截面划分四块,3、求对全截面形心轴惯性矩,方法二：负面积法。自行完成,Page,24,思考：下列计算是否正确？其中C是截面形心。,解：不正确。因为Z1不是形心轴,Page,25,一些易混淆的概念,对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲杆段各截面的弯矩为常数、剪力为零的内力状态,中性轴横截面受拉与受压区的分界线形心轴通过横截面形心的坐标轴,弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响,中性轴与形心轴,对称弯曲与纯弯曲,截面弯曲刚度与抗弯截面系数,Page,26,例:l=1m,b=30m,t=5mm,=-0.001,=0.0005,E=200GPa,求,1、梁内的绝对值最大正应力；2、梁底部纵向总伸长量；3、高度h的大小；4、载荷q之值。,Page,27,解：1、计算梁内绝对值最大正应力,（1）画梁的剪力弯矩图,（2）由梁的弯曲公式,知正应力、正应变与弯矩成正比,其最大值发生在H截面。,Page,28,（3）绝对值最大正应变,1,Page,29,2、计算底部纵向总伸长,（1）弯矩方程,（2）底部应变,由于e与M成正比，可设,分析：由需求应变方程，从应变与弯矩成正比，可先求弯矩方程。,Page,30,3、计算高度h,由知形心C与顶和底面的距离与顶和底面的应变成正比,由截面对形心轴的静矩为零,代入：b=30mm,t=5mm,Page,31,4、计算载荷q,Page,32,6-3弯曲切应力,决定切应力分布的原则：（由于变形分析困难，所以直接使用力学知识推理、假设，然后由实践加以证实）。,Page,33,一、矩形截面梁(hb)的弯曲切应力,这两条假设最初是比较粗糙的，但多年实践证明是可靠的。,（2）截面高而窄，在距中性轴同一高度（y）上，是相等的。,（儒拉夫斯基假设）,（大胆假设，小心求证）,（1）,思考:能否假设t(y)沿截面高度均匀分布?,Page,34,由图示微体平衡：,Sz(w)面积w对中性轴z的静矩,l,l,l,Page,35,l,截面静矩与惯性矩,l,最大切应力发生在中性轴,l,Page,36,截面翘曲与非纯弯推广,平截面假设不再严格成立矛盾解法,切应力利用纯弯正应力公式推导,纯弯正应力公式依据平截面假设,切应力非均匀分布引起截面翘曲,但当lh时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确,Page,37,当lh时，smaxtmax,横截面上各点假设：t/侧边，或t/剪力t沿截面宽度方向均匀分布,h/b值对解的影响：,Fh/b越大，解越精确。(h/b2时，足够精确),弯曲正应力与弯曲切应力比较,Page,38,例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向,注意A处剪流的方向。,Page,39,工字形截面梁的弯曲切应力,Page,40,解：,Page,41,一、梁危险点处的应力状态,Q矩形截面梁:,危险点：a,c点处:单向应力；b点处:纯剪切,6-4梁的强度条件,Page,42,Q薄壁截面梁:,Page,43,二、梁的强度条件,弯曲正应力强度条件：,弯曲切应力强度条件：,s,t联合作用强度条件（详见第9章强度理论）,smax：最大弯曲正应力s：材料单向应力许用应力,tmax：最大弯曲切应力t：材料纯剪切许用应力,Page,44,三、梁强度条件的选用,F细长非薄壁梁：,F短粗梁、薄壁梁与M小FS大的梁：,M有时需考虑s,t联合作用的强度条件,梁强度问题的分析步骤：,1、内力分析确定危险截面,2、应力分析确定危险点,3、根据强度条件进行强度校核。,Page,45,例4-1简易吊车梁，F=20kN，l=6m，s=100MPa，t=60MPa，选择工字钢型号,Page,46,2.按弯曲s条件选截面,查教材P367,附录F型钢表：选22a,Wz=3.0910-4m4,3.校核梁的剪切强度,解：1.内力分析,Page,47,例：已知,校核梁的强度,讨论：危险截面是否一定是弯矩绝对值最大的截面？,Page,48,解：画弯矩图,可能危险截面分析：,C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应力，b点压应力可能达危险值。,B截面：正弯矩最大，b点拉应力可能达危险值。,Page,49,截面形心：,C截面：,B截面：,强度足够,Page,50,6-5梁的合理强度设计,让材料远离中性轴腹板壁厚小，但不能太小。,一、梁的合理截面形状,依据：,Page,51,脆性材料梁,截面上下不对称的脆性材料梁,截面等强设计,Page,52,例：若载荷可在梁上任意移动，则铸铁梁b端朝上还是朝下合理？,问题分析：,(1).，截面b端离中性轴最远，最大应力发生在此处。,(2).铸铁抗压不抗拉，应该使最大弯矩处b端受压。,(3).梁AB中点出现绝对值最大正弯矩，b端朝上合理。,Page,53,答:位置1合理。,例2：从拉压强度考虑,图示铸铁工字梁截面,跨中腹板钻一个孔,哪一个是合理位置?,问题分析：因为铸铁抗压不抗拉，合理的位置是使最大拉应力减小，最大压应力可增加。,Page,54,二、变截面梁与等强度梁,弯曲等强条件,等强度梁各截面具有同样强度的梁,剪切等强条件,Page,55,三、梁的合理受力,Q合理安排约束,Page,56,Q合理安排加载方式尽量分散载荷,Page,57,Q加配重,Page,58,帮帮忙：桥式起重机的最大起重为100kN，怎么改进可以吊起150kN的重量？,Page,59,Iz与Wz的区别,Page,60,非对称弯曲,双对称截面梁非对称弯曲,非对称截面梁非对称弯曲,6-6双对称截面梁的非对称弯曲,Page,61,弯曲正应力分析,矢量沿坐标轴正向的弯矩M为正,利用叠加法分析内力与应力,弯曲正应力沿横截面线性分布,Page,62,中性轴为通过横截面形心的直线,中性轴位置与方位,中性轴的方位角为：,Page,63,smax发生在离中性轴最远的各点处,矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：,最大弯曲正应力,Page,64,例：已知，校核图示悬臂梁的强度。（1）矩形截面,Page,65,例：已知，校核图示悬臂梁的强度。解：（1）矩形截面危截面为A,+,Page,66,例：已知,校核图示悬臂梁的强度。解：（2）圆形截面危截面为A,正确解答：,思考：下述解答是否正确？,Page,67,答:位置1合理。,