北京航空航天大学-材料力学课件-Chapt7

Chapter7Analysisofstressandstrain应力、应变状态分析,1Introduction引言2Planestressanalysis平面应力状态应力分析3Mohrscircleofstress应力圆4Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面应力状态的极值应力与主应力5Maximumstressesinthree-dimensionalstressstate三向应力状态的最大应力6PlaneStrainanalysis平面应变状态应变分析7Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的应力应变关系8Strainenergyofcomplexstressstate复杂应力状态下的应变能9Stress-strainrelationshipofcompositematerials复合材料的应力应变关系,1Introduction引言,Stateofstressesandstrains应力与应变状态PlaneStateofstresses平面应力状态,微体A,S平面,Stateofstressesandstrains应力与应变状态,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态,StateoftheStressesofaGivenPoint一点的应力状态,Stateofstrains应变状态,构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态,Analyticalmethod研究方法,环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态,Purpose研究目的,研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础,Three-DimensionalStateofStresses三向（空间）应力状态:微体各侧面均作用有应力,空间应力状态一般形式Generalstateofstress:consistsofsixcomponents(threenormalandthreeshear),PlaneStateofStresses平面应力状态,PlaneStateofStresses平面应力状态仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面,Generalstateofplanestress平面应力状态的一般形式,2Planestressanalysis平面应力状态应力分析,Stressesonaninclinedplane斜截面应力Example例题,Stressesonaninclinedplane斜截面应力,DerivationofStressTransformationEquations：建立sa,ta与sx,tx,sy,ty间的关系,Problem,Signconvention符号规定：,Orientation方位a以x轴为始边、者为正,Normalstress正应力拉伸为正；Shearstress切应力t以企图使微体沿旋转者为正,方位用a表示；应力为sa,ta,Inclinedplane斜截面：/zaxis；,Stressesonaninclinedplane斜截面应力,由于tx与ty数值相等,并利用三角函数的变换关系,得,上述关系式是建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题,一点的应力状态，在不同的坐标系中有不同的表现形式，但它们之间是可以转换的。这种转换称之为“应力的坐标变换”，简称为“应力变换”（TransformationofStresses）。,应力变换的实质同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式,例题,例2-1计算截面m-m上的应力,解：,3Mohrscircleofstress应力圆,Mohrscircleofstress应力圆ConstructionandapplicationofMohrsCircle应力圆的绘制与应用Examples例题,Mohrscircleofstress应力圆,应力圆,圆心：,半径：,ConstructionandapplicationofMohrsCircle应力圆的绘制与应用,ConstructingMohrsCircle绘制应力圆,圆心横坐标,图解法求斜截面应力,同理可证：,应力圆思维分析的工具，而不是计算工具。,应力圆上一点坐标对应微体一个截面应力值,Anangleonanelementisrepresentedby2onthecircle,withsamedirection转向相同，转角加倍.,ApointonMohrscirclerepresentsthestressconditiononthecorrespondingplaneofelement,TheplanesperpendiculartooneanotherarerepresentedbydiametricallyoppositepointsonMohrscircle.互垂截面，对应同一直径两端,Example例题,例3-1利用应力圆求截面m-m上的应力,解：,已知A，A，B，B，如何作应力圆。,联AB，并作其中垂线，交轴于C，C为圆心,已知，如何作应力圆。,几种特殊受力状态的应力圆,4Maximum&principalstressesinplanestateofstress平面应力状态的极值应力与主应力,MaximumStressesinplanestress平面应力状态的极值应力PrincipalplanesandprincipalStresses主平面与主应力ShearingStateofStresses纯剪应力状态Examples例题,MaximumStressesinplanestress平面应力状态的极值应力,MaximumShearingStressinPlane（面内最大切应力）,PrincipalplanesandprincipalStresses主平面与主应力,Principalplanes主平面theplanesonwhichthemaximumandminimumvaluesofoccur(noshearstressesinexistence)切应力为零的截面,PrincipalStresses主应力thenormalstressesactingonprincipalplanes主平面上的正应力,主应力符号与规定,主平面微体相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体,（按代数值排列）,si=?,应力状态分类,OneDimensionalStateofStresses单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态,TwoDimensionalStateofStresses二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态,ThreeDimensionalStateofStresses三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态,二向与三向应力状态，统称复杂应力状态2-Dand3-Dstateofstresses:complexstateofstresses,ShearingStateofStresses纯剪应力状态,MaximumStresses最大应力,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生在tmax的作用面,断裂发生在smax的作用面,Examples例题,解：1.解析法,例4-1用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,2.图解法,1.应力圆上一点坐标对应微体一个截面应力值2.圆上两点所夹圆心角对应截面法线夹角的两倍,对应夹角转向相同,主平面切应力为零的截面,主应力,极值应力与主应力,平面应力状态应力分析,上节课主要内容：,5Maximumstressesinthree-dimensionalstateofstress三向应力状态的最大应力,Mohrscircleinthreedimensions三向应力圆Maximumstresses最大应力Examples例题,Mohrscircleinthreedimensions三向应力圆,与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内,Maximumstresses最大应力,最大切应力位于与s1及s3均成45的截面,平面应力状态的极值应力,例题,例5-1已知sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=-40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力,解：,画三向应力圆,6Planestrainanalysis平面应变状态应变分析,Strainsatarbitrarydirection任意方位的应变Mohrscircleforplanestrain应变圆Maximum&principalstrain最大应变与主应变Examples例题,Strainsatarbitrarydirection任意方位的应变,Forastateofplanestrain(平面应变状态),weassume,微体内各点的位移均平行于某一平面,Forastateofplanestress,weassume:,平面应变状态任意方位应变,问题：已知应变ex,ey与gxy，求a方位的应变ea与ga,使左下直角增大之g为正,规定：,方位角a以x轴为始边，为正,分析方法要点：叠加法，切线代圆弧,分析,综合,上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关,结论,任一方位应变：,垂直方位切应变：,互垂方位的切应变数值相等，符号相反,Mohrscircleforplanestrain应变圆,Maximum&principalstrain最大应变与主应变,切应变为零方位的正应变主应变,主应变位于互垂方位,主应变表示：e1e2e3,例题,例6-1图示应变花，由实验测得0,45与90方位的应变分别为e0,e45与e90，求ex,ey与gxy,解：,7Stress-strainrelationshipofisotropicmaterials各向同性材料的应力应变关系,GeneralizedHookeslaw广义胡克定律Relationshipbetweenprinciplestressandstrain主应力与主应变的关系Examples例题,GeneralizedHookeslaw广义胡克定律,广义胡克定律（平面应力状态）,适用范围：各向同性材料，线弹性范围内,广义胡克定律（三向应力状态）,适用范围：各向同性材料，线弹性范围内,Relationshipbetweenprinciplestressandstrain主应力与主应变的关系,主应变与主应力的方位重合,最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位,最大拉应变发生在最大拉应力方位,如果s10，且因m1/2，则,例题,证：,根据几何关系求e45。,根据广义胡克定律求e45。,比较,例7-2边长为a=10mm的正方形钢块，放置在槽形刚体内，F=8kN，m=0.3，求钢块的主应力,解：,例：刚性块上有D=5.001cm凹座，内放d=5cm钢圆柱，P=300KN，E钢=200GPa，=0.3(无摩擦)，求圆柱体内主应力。,主应力之一:,假设圆柱体膨胀塞满凹座：,圆柱体为轴对称构件：,广义胡克定律：,若q为负值，说明假设正确,若q为正值，说明q应该等于零,练习题、已知轴表面与轴线成45方位的正应变45，试求扭力矩T之值。材料的弹性常数E和均为已知,圆截面轴的直径为d。,8复杂应力状态下的应变能,应变能密度一般表达式体应变畸变能密度,应变能密度一般表达式,单位体积内的应变能应变能密度,体应变,微体的体积变化率体应变,畸变能密度,体积改变形状不变,形状改变体积不变,Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheDistortion畸变能密度vd,Strain-EnergyDensityCorrespondingtotheChangeofVolume体积改变能密度vv,9复合材料应力应变关系简介,正轴应力应变关系偏轴力学特性,复合材料的定义：,由两种或两种以上材料在宏观尺度上组成的新材料。,复合材料的基本特点：,1、通常由基体材料和增强材料组成；,3、宏观上呈现各向异性。,2、不同组分材料之间有明显的界面；,复合材料的力学性能：,1、比强度、比刚度大：,2