新北师大版九年级数学全章完整一元二次方程)ppt课件

.,1,一元二次方程,花边有多宽,.,2,一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为m，宽为m如果地毯中央长方形图案的面积为m2，则花边多宽?,例1,.,3,解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为m,宽为m,根据题意,可得方程：,（82x）,（52x）,(82x)(52x)=18.,5,x,x,x,x,（82x）,（52x）,8,18m2,.,4,如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？,解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙m;根据题意，可得方程：,你能化简这个方程吗?,6,x6,72(x6)2102,xm,8m,10m,7m,6m,10m,1m,例2,.,5,观察下面等式：你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？,如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：，,你能化简这个方程吗?,x1,x2,x3,x4,根据题意，可得方程：.,例3,.,6,上面的方程都是只含有的，并且都可以化为的形式，这样的方程叫做一元二次方程,一元二次方程的概念,由上面三个问题，我们可以得到三个方程：,把axbxc(a，b，c为常数,a)称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数,(8-2x)(-x)=18;,即2x213x11=0.,x+x+1)+(x+2)=(x+3)+(x+),即x28x200.,（x）,即x212x150.,上述三个方程有什么共同特点？,一个未知数x,整式方程,axbxc(a，b，c为常数,a),.,7,下列方程哪些是一元二次方程?,(2)2x25xy6y0,(5)x22x31x2,(1)7x26x0,解:(1)、(4),.,8,1.关于x的方程(k3)x22x10,当k_时，是一元二次方程,2.关于x的方程(k21)x22(k1)x2k20,当k时，是一元二次方程,当k时，是一元一次方程,3,1,1,.,9,解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为尺,长为尺,依题意得方程：,从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽尺，竖着比门框高尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程,(x4)2(x2)2x2,即,x212x200,4尺,2尺,x,x4,x2,(x4),(x2),练习,.,10,.把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项,解：将原方程化简为：9x212x44(x26x9),9x212x4,9x2,5x236x320,二次项系数为，,5,36,32,一次项系数为，,常数项为.,5,36,32,4x224x36,4x2,24x,36,12x,4,0,.,11,学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式axbxc（a，b，c为常数，a）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系你准备如何去求方程中的未知数呢?,.,12,知识的升华,根据题意，列出方程：,（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？,解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x5)m,宽为(x2)m，依题意得方程：,(x5)(x2)54,即,x27x440,2,5,x,x,X5,X2,54m2,.,13,知识的升华,（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？,x(x1)x(x2)(x1)(x2)242.,x22x800.,即,解：设第一个数为x，则另两个数分别为x,x2，依题意得方程：,.,14,知识的升华,2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x25x10,x2x80,或7x20 x40,3,5,1,1,1,8,7,0,4,3,5,1,1,1,8,7,0,4,或7x240,7,0,4,7x240,.,15,一元二次方程的解法,一：配方法,.,16,平方根的意义:,1.解方程(1)x2=5.,解方程(2)x2=4.解方程(3)(x+2)2=5.解方程(4)x2+12x+36=5.解方程(5)x2+12x=-31.解方程(6)x2+12x-15=0.解方程(7)x2+8x-9=0.,如果x2=a,那么x=,如:如果x2=5,那么x=,完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2=(ab)2.,如:x2+12x+=(x+6)2;x2-4x+=(x-)2;x2+8x+=(x+)2.,.,17,解方程x2+8x-9=0.,1.移项:把常数项移到方程的左边;,我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法,2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,3.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,4.开方:方程左分解因式,右边合并同类;,5.求解:解一元一次方程;,6.定解:写出原方程的解.,.,18,解下列方程:1.x22=0;2.16x225=0;3.(x+1)24=0;4.12(2-x)2-9=0;5.x2-144=0;6.y2-7=0;7.x2+5=0;8.(x+3)2=2;9.(x+3)=6;,8.(x+3)2=2;9.(x+3)=6;10.16x-49=0;11.(2x+3)=5;12.2x=128;13.(x+1)-12=0;14.x2-10 x+25=015.x2+6x=1;16.49x2-42x1=0.,.,19,根据题意，列出方程：,1.如图,在一块长35m,宽26m矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,在使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？,解：设道路的宽为xm，根据题意得,(35-x)(26-x)850.,x2-61x600.,解这个方程,得,x11;x260(不合题意,舍去).,答:道路的宽应为1m.,.,20,2.解下列方程:(1).x2+12x+25=0;(2).x2+4x=10;(3).x26x=11;(4).x22x-4=0.,.,21,二：公式法,.,22,用配方法解一般形式的一元二次方程,移项，得,配方，得,即,.,23,用配方法解一般形式的一元二次方程,即,一元二次方程的求根公式,特别提醒,.,24,例1解方程：,解：,即：,这里,.,25,用公式法解一元二次方程的一般步骤：,3、代入求根公式:,2、求出的值，,1、把方程化成一般形式，并写出的值。,4、写出方程的解：,特别注意:当时无解,.,26,例2解方程：,化简为一般式：,这里,解：,即：,.,27,解：去括号，化简为一般式：,例3解方程：,这里,方程没有实数解。,.,28,用公式法解下列方程：,（1）2x2-9x+8=0;,（2）9x2+6x+1=0;,（3）16x2+8x=3.,.,29,1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解,2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？,.,30,因式分解法,.,31,解：,.,32,解：,.,33,配方法,公式法,.,34,.,35,分解因式法,当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.,提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”,.,36,分解因式法,用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).,.,37,分解因式法解一元二次方程的步骤是:,1.令方程的右边为0，左边可因式分解;,3.根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.,4.分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.,2.把左边因式分解;,.,38,1.解下列方程:,.,39,解：设这个数为x,根据题意,得,x=0,或2x-7=0.,2x2=7x.,2x2-7x=0,x(2x-7)=0,一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.,驶向胜利的彼岸,.,40,1.x2-4=0;2.(x+1)2-25=0.,解：1.(x+2)(x-2)=0,x+2=0,或x-2=0.,x1=-2,x2=2.,你能用分解因式法解下列方程吗？,(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0,或x-4=0.,x1=-6,x2=4.,这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?,(X+6)(x-4)=0,.,41,实际问题与一元二次方程,.,42,例1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？,分析：,第三次,第二次,第一次,a,aX10%,a+aX10%=,a（1+10%）X10%,a(1+10%)+a(1+10%)X10%=,a（1+10%）2,a（1+10%）,.,43,例2：某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？,解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为,50(1+x)2=72,可化为：,解得：,答：二月、三月平均每月的增长率是20%,.,44,例3：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）,设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则,2001年a,2002年a（1+x),2003年a(1+x)2,a(1+x)2=a+21%a,分析：,.,45,a(1+x)2=1.21a(1+x)2=1.211+x=1.1x=0.1,解:设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则,a(1+x)2=a+21%a,答:平均每年增长的百分率为10%,.,46,练习1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）,解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得,解这个方程，得,答：每次降价的百分率为29.3%.,.,47,练习2:某药品两次升价，零售价升为原来的1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）,解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得,解这个方程，得,由于升价的百分率不可能是负数，所以不合题意，舍去,答：每次升价的百分率为9.5%.,.,48,甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?,增长率与方程基本数量关系:a(1+x)2=b,.,49,练习3.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）,.,50,练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.,.,51,一元二次方程及应用题,1、直角三角形问题：（勾股定理）2、体积不变性问题：3、数字问题：4、互赠礼物问题：5、增长率问题：,.,52,.数字与方程,例1.一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.,.,53,数字与方程,例2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.,.,54,.几何与方程,例1.一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小路的面积为246cm2,求小路的宽度.,.,55,几何与方程,例2.如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.,.,56,几何与方程,例3.将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?,.,57,例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?,增长率与方程,.,58,例2.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?,增长率与方程,.,59,例1.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?,.美满生活与方程,.,60,某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件，求：这个班级的人数,某校进行乒乓球单循环比赛，共比赛55场，问：共有多少名同学参加,.,61,例2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少?(精确到0.01%).,美满生活与方程,.,62,例.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10 x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?,.利润与方程,.,63,商场精英,例.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?,.,64,例.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应种多少棵桃树?,.经济效益与方程,.,65,某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？,.,66,有关面积问题：,常见的图形有下列几种：,.,67,例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.,整理后，得x2-11x+30=0解这个方程，得x1=5,x2=6,(与题设不符，舍去),答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。,由x1=5得,由x2=6，得,解：设这个矩形的长为xcm，则宽为（cm）.根据题意，得,.,68,例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？,.,69,则横向的路面面积为，,分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。,解法一、如图，设道路的宽为x米，,32x米2,纵向的路面面积为。,20 x米2,注意：这两个面积的重叠部分是x2米2,.,70,化简得，,其中的x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：,=100(米2),答：所求道路的宽为2米。,.,71,解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,.,72,横向路面为，,如图，设路宽为x米，,32x米2,纵向路面面积为。,20 x米2,耕地矩形的长（横向）为，,耕地矩形的宽（纵向）为。,相等关系是：耕地长耕地宽=540米2,(20-x)米,（32-x)米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法1相同。,.,73,练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个面积为32厘米的矩形？说明理由。,2：在一块长80米，宽60米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是1500平方米，求这条跑道的宽度。,.,74,3.如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为多少？,40米,22米,.,75,4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地面积为570m，问道路的宽为多少？,.,76,例3、求截去的正方形的边长,用一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少cm？,.,77,求截去的正方形的边长,分析设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式,.,78,求截去的正方形边长,解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得,(28-2x)(20-2x)=180,x2-24x+95=0,解这个方程，得：x1=5,x2=19,经检验：x219不合题意，舍去所以截去的正方形边长为cm.,.,79,例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.,分析:池底的造价+池壁的造价=总造价,解:设池底的边长是xm.,根据题意得:,解方程得:,池底的边长不能为负数,取x=4,答:池底的边长是4m.,.,80,练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来方案的水池的长与宽各是多少米？,原方案,新方案,.,81,课堂练习:列方程解下列应用题1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌上一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确到0.1厘米）2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方米，路宽为多少？,.,82,3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米，那么剪去的正方形边长为多少?,.,83,4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）,.,84,5、,在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。,解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得,3020(302x)(202x)=400,整理得x225+100=0,得x1=20,x2=5,当=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10,答:这个长方形框的框边宽为5cm,.,85,列一元二次方程解应题,6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔现有190支铅笔，则要放几层?,解:要放x层,则每一层放(1+x)支铅笔.得x(1+x)=1902,.,86,列一元二次方程解应题,补充练习：,如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少米？,.,87,有关“动点”的运动问题”,1)关键以静代动把动的点进行转换,变为线段的长度,2)方法时间变路程求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;,由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.,3）常找的数量关系面积，勾股定理等；,.,88,例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PBQ的面积等于8cm