高等数学(同济第六版)D8_4[1]

,四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,曲面及其方程,第八章,定义1.,如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:,(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;,则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,一、曲面方程的概念,故所求方程为,例1.求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为R的轨迹,表示上(下)球面.,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,旋转曲线和定直线,称为旋转曲面的母线和旋转轴.,其余依此类推.,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L的方程为,绕z轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,定义3.,平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于z轴;,准线为xoy面上的抛物线.,C叫做准线,l叫做母线.,表示圆柱面.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于x轴;,平行于y轴;,平行于z轴;,准线xoz面上的曲线l3.,母线,柱面,准线xoy面上的曲线l1.,母线,准线yoz面上的曲线l2.,母线,四、二次曲面,椭圆锥面的形成,研究曲面的伸缩变形法,平面图形的伸缩变形法.,1.椭圆锥面,2.椭球面,得旋转椭球面,椭球面的形成,3.单叶双曲面,单叶双曲面的形成,得旋转单叶双曲面,4.双叶双曲面,双叶双曲面的形成,绕x轴旋转,得旋转双叶双曲面,5.椭圆抛物面,椭圆抛物面的形成,得旋转抛物面,6.双曲抛物面,双曲抛物面与平面xt的截痕l为平面xt上的抛物线,截痕,当t变化时l的形状不变位置只作平移而l的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线C.,表示上半球面与圆柱面的交线C.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解:,螺旋线的重要性质,上升的高度与转过的角度成正比.,例2.将下列曲线化为参数方程表示:,解:,将第二方程变形为,故所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影.,类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.,投影柱面与投影(曲线),以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.,投影柱面,投影曲线,投影(曲线)的确定,设空间曲线C的一般方程为,方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x,y的方程H(x,y)=0,曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为,三、空间曲线在坐标面上的投影,这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.,投影柱面,投影曲线,消去x得C在yoz面上的投影曲线方程,消去y得C在zox面上的投影曲线方程,投影曲线的研究过程,空间曲线,例3.已知两球面的方程为x2+y2+z2=1和x2+(y-1)2+(z-1)2=1,求它们的交线C在xOy面上的投影方程.,解：,x2+y2+z2-2y-2z-1,将x2+y2+z2=1代入得1-2y-2z-1,即y+z=1.将z=1-y代入方程x2+y2+z2=1,得x2+y2+(1-y)2=1,即x2+2y2-2y=0.,方程x2+(y-1)2+(z-1)2=1化为,两球面的交线C在xOy面上的投影方程为,这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程.,空间立体,曲面,补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影,例如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:,上半球面,和锥面,在xoy面上的投影曲线,二者交线,所围圆域:,二者交线在,xoy面上的投影曲线所围之域.,第八章,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节,空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线C.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面与xOy面的交线叫做曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影.,类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影.,投影柱面与投影(曲线),以空间曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面.,投影柱面,投影曲线,投影(曲线)的确定,设空间曲线C的一般方程为,方程组中的两个方程消去变量z后可得一个关于x,y的方程H(x,y)=0,曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为,三、空间曲线在坐标面上的投影,这就是曲线C关于xOy面的投影柱面的方程.,投影柱面,投影曲线,消去x得C在yoz面上的投影曲线方程,消去y得C在zox面上的投影曲线方程,内容小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,求投影曲线,(如,圆柱螺线),思考与练习,P37题1，2，7（展示空间图形）,P37题1,(2),(1),答案:,(3),P37题2(1),思考:,交线情况如何?,交线情况如何?,P37题2(2),P37题7,备用题,求曲线,绕z轴旋转的曲面与平面,的交线在xoy平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向xoy面