第四讲图象变换本科生教学资料图像变换

第三讲图像的变换,信号处理方法：,时域分析法,频域分析法,频率通常是指某个一维物理量随时间变化的快慢程度的度量。频率值高意味着该物理量随时间变化快；频率值低意味着该物理量随时间变化慢。例如交流电频率为5060Hz（交流电压）中波某电台1026千赫（无线电波）,图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，所以图像本身所在的域称为空间域（spacedomain）。,图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（spatialfrequency）。,一维（连续）傅立叶变换傅立叶变换是一种数学变换（正交变换），可以把一维信号（或函数）分解成不同幅度的具有不同频率的正弦和余弦信号（或函数）。,输入信号=傅立叶（正）变换=频率域信号函数f(t)函数F(f)频率域信号=傅立叶反变换=输出信号函数F(f)函数f(t),傅立叶变换滤波利用傅立叶变换的特性，将时间信号正变换到频率域后进行处理（例如低通、高通或带通处理），然后再反变换成时间信号，即可完成对信号的滤波。,低通滤波：在频率域中抑制高频信号高通滤波：在频率域中抑制低频信号,每一种变换都有自己的正交函数集，从而引入不同的变换,3.1一维傅立叶变换3.2二维傅立叶变换3.3二维离散傅立叶变换性质3.4快速傅立叶变换（FFT）3.5离散图像变换的一般表达式3.6离散余弦变换3.7K-L变化3.8walsh变换（DWT）3.9离散哈达码变换（DHT）3.10小波变换,其中，表示幅度为1、频率为的复正弦。,3.1一维傅立叶变换,条件：如果实变量函数是连续可积的，即,3.1.1一维连续傅立叶变换,那么，的傅立叶变换存在，并定义为：,其反变换为:,一般是实函数，而是复函数，它由实部和虚部组成：,复数形式:,指数形式:,幅值函数:,相位角:,若令为离散实变量，u为离散频率变量，则一维离散傅立叶变换(DFT)与反变换定义为：,对连续函数等间隔采样就得到一个离散序列。假设共采样N次，则这个离散序列可以表示为,3.1一维傅立叶变换,3.1.2一维离散傅立叶变换,和,二维连续函数的傅立叶变换及反变换：,3.2二维傅立叶变换,3.2.1二维连续傅立叶变换,与一维傅立叶变换的情况类似，可以定义二维傅立叶变换的幅度谱(幅值函数)和相位角如下：,M表示在X方向上采样是M个点，N表示在Y方向上采样是N个点，即图像不是方阵。,二维离散函数的傅立叶变换及反变换：,3.2二维傅立叶变换,3.2.2二维离散傅立叶变换,在数字图像处理中，图像傅立叶变换一般取方阵，即，则二维傅立叶变换公式变为：,3.2二维傅立叶变换,3.2.2二维离散傅立叶变换,假若待变换的图像不是方阵，则可以通过补0的方式变成方阵来处理，补0后不会影响付立叶变换的结果。,3.3二维离散傅立叶变换性质,1、可分离性,沿行的方向求一维离散傅立叶变换得到：,的列方向求一维离散傅立叶变换得到，再对,由上述的分离形式可以看出，一个二维离散傅立叶变换可以通过先后两次运用一维傅立叶变换来实现，即先沿,3.3二维离散傅立叶变换性质,1、可分离性,3.3二维离散傅立叶变换性质,1、可分离性,列变换,行变换,二维离散傅立叶变换的分离过程,将乘以一个指数项相当于将其二维离散傅立叶变换的频域原点移动到新的位置。类似地，将乘以一个指数项，就相当于将其二维离散傅立叶反变换的空域原点移动到新的位置。这个性质可以表示为：,2、频率位移特性：,3.3二维离散傅立叶变换性质,在数字图像处理中，常常需要将的原点移到方阵的中心，以便可以清楚地分析傅立叶变换频谱的情况。要做到这一点，只需令：,2、频率位移特性：,图像中心化：,3.3二维离散傅立叶变换性质,则：,傅立叶变换的周期性表明，尽管对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任意周期内的N个值就可以从得到。也就是说，只需一个周期内的变换就可以将完全确定。这一性质对于在空域里也同样成立。,3、周期性,3.3二维离散傅立叶变换性质,傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：,其中，是的复共轭,4、共轭对称性,3.3二维离散傅立叶变换性质,如果是实函数，即，则它的傅立叶变换具有共轭对称性：,则和分别表示为和。,5、旋转不变性,3.3二维离散傅立叶变换性质,若引入极坐标使,。,在极坐标中，存在以下的变换对,上式表明，如果在空域旋转角度，则相应的傅立叶变换在频域上也旋转同一角度。,6、分配性和比例性,3.3二维离散傅立叶变换性质,3.4快速傅立叶变换（FFT）,令，对N点序列f(x)，其一维离散傅立叶变换可以写成：,显然，求出N点F(u)需要次复数乘法及N(N-1)次复数加法，而实现一次复数乘需要四次实数乘和两次实数加，实现一次复数加则需要两次实数加，当N很大时，计算量是非常大的，难于实时实现。,令矩阵则一维离散傅立叶的正变换可写成矩阵形式，即,离散傅立叶变换的运算中包含大量的重复运算：,观察矩阵，显然其中有个元素，但由于的周期性，其中只有N个独立的值，即，且在这N个值中有一部分取的是简单的值，因子的取值有如下特点：,例如，对四点DFT，直接计算需要次复数乘，按上述周期性和对称性，可写成如下的矩阵形式：,将该矩阵的第二列和第三列交换，得,由此得出,这样，求出四点DFT只需要一次复数乘法，问题的关键是如何巧妙地利用W因子的周期性和对称性，导出一个高效的快速算法。,3.4.1时间抽取（DIT）的基2FFT算法,根据前面推导过程，对于N=8点的DFT可以写成如下的矩阵形式：,对上式等号右端的矩阵进行一系列初等变换，可得如下形式：,4点FFT时间抽取算法信号流图,8点FFT时间抽取算法信号流图,1“级”的概念将N点DFT先分成两个N/2点DFT，再分成四个N/4点DFT，进而八个N/8点DFT，直至N/2个两点DFT。每分一次，称为一“级”运算，共可以分成级。8点DFT分级情况可以表示成下图，从左至右，依次为m=0级，m=1级，m=2级。,3.4.2算法的讨论,任何是2的整数次幂的DFT，都可以用上面的流程图形式来实现,2因子的分布从图3-10可以发现，第一次将N点DFT分成两个N/2点DFT时相当于图3-10最右边一级，这时出现的因子是，而。由于，因此算法再往下分时，依次是，故每一级因子的分布规律如下：m=0级，m=1级，m=2级，m=M-1级，因此，不难总结出因子分布的一般规律：第m级，,3.5离散图像变换的一般表达式,1可分离变换：二维可分离变换的形式可用通用的关系式来表示：,若则正反变换核是可分离的，若的函数形式一样，则称它们又是加法对称的。,如二维傅立叶变换对：,具有可分离变换核的二维变换可分成二个步骤计算,第一步：沿的每一行进行一维变换,第二步：沿的每一列进行一维变换,2、图像变换的矩阵表示式当是可分离、对称的，正变换可写成矩阵形式，利用矩阵形式优点，所得到的变换矩阵可分解为若干个具有较少非0元素的矩阵的乘积，可减少冗余并减少操作次数,图像变换的矩阵表示式与代数表示式一样,3.6离散余弦变换,3.6.1一维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,对应的一维离散余弦变换：,一维离散余弦反变换（反变换核与正变换核形式相同）,3.6.2二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,3.6.2二维离散余弦变换（DCT）的正变换核为：,对应的二维离散余弦变换：,对应二维离散余弦反变换：,可看出，二维离散余弦变换的变换核是可分离的，因而可通过两次一维变换实现二维变换。,3.6.3二维离散余弦变换的实现可以直接从FFT算法中求得,对有，代表括号内的项的实部。求和的项就是个点上的离散傅立叶变换。,离散余弦变换的性质：1、余弦变换是实数、正交。2、离散余弦变换可由傅立叶变换的实部求得3、对高度相关数据，DCT有非常好的能量紧凑性4、对于具有一阶马尔可夫过程的随机信号，DCT是K-L变换的最好近似应用：广泛用到图像压缩编码，语言信号处理等,3.7walsh变换（DWT）,一维离散沃尔什变换：,当时,变换核：,其中是二进制表达的第k位，如n3，则对I6（110），b0（I）=0,b1（I）=1,b2（I）=1,walsh反变换：,可看出正反变换的算法只差一个1/N的系数,二维离散沃尔什变换：,正反变换核为：,它们相同且都具有分离性。即,二维walsh变换矩阵表示：,反变换矩阵表示：,N=2时变换核：,N=4时变换核：,N=8时变换核：,Eg：二维的数字图像信号：求它的DWT,Eg：二维均匀分布的数字图像信号：求它的DWT,可看出，walsh变换具有能量集中特性，且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越是集中于矩阵的边角上。故二维沃尔什变换可压缩图像信息。,综上所述，沃尔什变换其变换只有1，1组成，在变换过程中只有加、减运算。计算简单，易于硬件实现。,3.8离散哈达码变换（DHT）,一、一维离散哈达码变换,变换核：,是一种特殊排序的沃尔什变换，哈达码变换矩阵是个方阵，只有1，1元素，它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可由二个低阶矩阵的直积求得。,正变换:,反变换:,的哈达码矩阵：,(2N阶的哈达码矩阵)与N阶的哈达码矩阵HN之间的递推关系:,Eg：N=4,二维离散哈达码变换,哈达码变换核是可分离、对称的，也可由二步一维变换完成.,*小波变换傅立叶变换用在频谱分析和滤波方法的分析上。但傅立叶反映的是信号或函数的整体特征，而有些实际问题关心的是信号的局部范围中的特征。,3.9小波变换,例如，在音乐和语言信号中人们关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震记录来说，关心什么位置出现反射波；,在边缘检测中，关心的是信号突变部分的位置。从而引进窗口傅立叶，用一个窗口去乘所研究的函数，然后进行傅立叶变换。,但引入的这种变换窗口的尺寸和形状与频率无关而是固定不变的。这与高频信号的分辨率应比低频信号高，因而与频率升高应当窗口减小这一要求不符，为此未能得到广泛的应用与发展,小波：a）从分辨率看，小波较好地解决了时间与频率分辨率的矛盾，它巧妙的利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。即子波分析的窗宽是可变的，在高频时用短窗口，而在低频时，则使用宽窗口。,b）小波并不一定要求是正交的，其时宽频宽乘积很小，因而展开系数的能量较为集中。,子波变换的基本思想：是用一族函数去表示或逼进一信号或函数，这族函数称为子波函数集，它通过一基本子波函数的不同尺度的平移和伸缩组成，它的特点是时宽频宽乘积很小，且在时间和频率轴上都很集中。,若基本子波函数为h（x），伸缩和平移因子分别为a和b，则子波变换基底定义为：,窗口面积不变，对于大的中心频率，窗变窄，小的时间间隔，可给出较高的分析精度，对于小的中心频率，窗变宽，大的时间间隔，可给出完整的信息。,函数的连续子波变换定义为：,应用：1）图像压缩：小波把信号分解成具有不同时间和分辨率的信号，,小波的特点：a）能量集中b）易于控制各子带噪声c）与人类视觉系统相吻合的对数特征。2）突变信号检测中：由于分辨率随频率的不同而变化的特点，能准确定位信号的上升沿和下降沿。,3.10K-L变换离散Karhunen-Loeve变换，简称离散K-L变换，又称霍特林（Hotelling）变换。K-L变换是以图像的统计性质为基础的，其变换核矩阵由图象阵列的协方差矩阵的特征值和特征向量所决定,所以,K-L变换也称特征向量变换或主成份分解.,彩色：3个波段R、G、B遥感多：128个波段数据太多，能不能通过某种形式，保留主要的，弃掉次要的。下面讨论：一个随机图象NN矢量，多光谱每个象素可看作一个矢量。（F是NN阶）,写成矢量,是N21维的，即：,（矢量中各个分量都是随机分量）,矢量均值为：,协方差矩阵：,相关矩阵,一般情况下，自协方差矩阵是对称的，对角线上的阵元反映矢量各个分量的方差，而非对角线上各阵元反映矢量的各个分量间的互方差，注意到图象都是实数，协方差矩阵都是实对称方阵，存在完备特征矢量体系（特征空间）特征矩阵：A=a1a2aQ,对非零aiaj如正交，则有：atiaj=1i=j=0i不等于j(主分量变换矩阵，与原图象有关，去相关性最好的变换),如对,做K-L变换得：,(1),则矢量的均值和协方差矩阵为：,g为对角阵，表示经K-L变换得到的已去相关性，即已删除了它的冗余度，这时的各分量方差和为：