构造法在初等数学中的应用

构造法在初等数学中的应用1 构造因式 在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数与式，来解决其问题。例1 当=+1,求的值。 解：由条件得=+1，所以=-1。 构造-1的因式 例2 正数，满足，求证。 分析：式中的次数为3次，而结论式中是1次，所以要降幂，结论式为不等式，都为正数，于是可以考虑构造均值不等式。解：由均值不等式可得： 由得 2 构造函数 在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构造一种函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题。构造函数证明（求解）问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。例3 证明如果，那么。 证明：构造函数 易证在R是奇函数且单调递增 又是增函数 即 例4 求证：分析：可化为，这与我们常见的函数为同一形式，可用单调性来证明。 证明：设 则 令 则= 即在上单调递增， 3 构造方程 方程的构造是初等代数的基本方法之一，若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题，有些数学题经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。例5 若，求证：、成等差数列。 分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻，但我们细看，问题条件酷似判别式=的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解。 证明：当时，可得，所以、成等差数列；当时，设方程，由得，并易知是方程的根，所以，即，所以、成等差数列。例6 已知、，求证。 分析：设法构造一个一元二次方程，使、以其系数或常数的面目出现，再由得到不等式。 解：设，易证， 求得，则就是方程的两实根，由 （注）构造方程解题体现了方程的观点，运用方程观点解题可归结为3个步骤： A.将所面临的问题转化为方程问题； B.解这个方程或讨论这个方程的有关性质（常用判别式和韦达定理）得出结论； C.将方程的相关结论再返回原问题的结论。4 构造数列 4.1构造新数列求原数列通项。 数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要，构造新数列求通项，即可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们对等差、等比数列的理解深度。 4.1.1形如，求通项公式，可构造新数列。 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。 分析：这类问题引入待定系数，拼凑，使得成为等比数列。 解：设，整理得，与已知对比，系数得，于是，即，所以数列是首项为5公比为2的等比数列，由得。 4.1.2 形如，求通项公式，构造新数列。 分析：两边同时取倒数得，令，得. 例8 在数列中，求数列的通项公式。 解：由两边取倒数得，整理得。故数列是首项为、公差为的等差数列，于是，故。 （注）：形如，求数列通项公式，该数列一般可引入参数、t ,使得=，与已知对比后得系数，转化为新数列。 4.1.3 构造与有关的数列，再由求。 例9 已知数列前项和为，求数列的通项公式。解：由得，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即当时，。当时，综上，数列的通项公式是=2；。4.2构造数列法例10 对一切非零自然数，求证：。分析：关于含有自然数的问题可以用数学归纳法来证明，但此题可用构造数列的方法来证明。 证明：构造数列，使其通项为，则，所以，故对一切自然数，都有，即，所以。例11 求证 （其中） 分析:构造数列模型 则有 = =所以数列为递增数列。 又因故（其中）即证。 评注：欲证含有与自然数有关的和的不等式可以构造数列模型，只需证数列是单调递增，且，另外，此题也可用数学归纳法证明。5构造几何图形（体） 如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论，构造的图形最好是简单而又熟悉其性质的图形。例12 求函数的值域。 解析：原函数可写为，其几何意义是平面内动点到两定点和的距离之和。求值域只要求其最值即可。易知当M、N、P三点共线时，取最小值，,无最大值。故得函数值域为。综上可知，构造法体现了数学发现的思维特点，“构造”不是“胡思乱想”，不是“凭空捏造”，而是要以所掌握的知识为背景，以具备的能力为基础，以观察为先导，以分析为武器，通过仔细的观察、分析去