第五章—数值微分与数值积分

第五章数值积分,本章内容,5.1引言5.2牛顿柯特斯公式5.3复合牛顿柯特斯公式5.4龙贝格算法5.5高斯型求积公式,5.1引言,一.为什么要数值求积？二.构造数值求积公式的基本方法三.求积公式的余项四.求积公式的代数精度,5.1引言,一.数值求积的必要性,5.1引言,5.1引言,5.1引言,5.1引言,截断误差,5.1引言,5.2牛顿柯特斯公式,内容一.牛顿柯特斯公式二.牛顿柯特斯公式余项三.牛顿柯特斯公式的数值稳定性和收敛性,5.2牛顿柯特斯公式,Newton-Cotes(N-C)公式插值型数值求积公式,将积分区间a,b分成n等分，等分点,等距节点求积,5.2牛顿柯特斯公式,5.2牛顿柯特斯公式,5.2牛顿柯特斯公式,证:由插值型求积公式的余项其中可知梯形公式的误差为,由于(x-a)(x-b)在a,b中不变号,在a,b上连续,根据高等数学中的积分中值定理,在a,b上存在一点，使,因此,5.2牛顿柯特斯公式,二.牛顿柯特斯(Newton-Cotes)公式余项,5.2牛顿柯特斯公式,5.2牛顿柯特斯公式,5.2牛顿柯特斯公式,5.2牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,内容一.复化数值求积法二.复化梯形公式三.复化Simpson公式四.复化Cotes公式五.误差估计六.复合求积公式步长的自动选取,5.3复合牛顿柯特斯公式,一.复化数值求积法提高求积精度增加节点分段使用节点少的Newton-Cotes公式即所谓的复化求积公式整体使用节点多的N-C公式。原因：高次插值有时出现Runge现象，误差更大；节点增多，Ak有正有负，不能保证稳定性。,5.3复合牛顿柯特斯公式,复化（复合）求积公式所谓复化求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并在每个小区间上用低阶牛顿柯特斯公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复化求积公式。,5.3复合牛顿柯特斯公式,二.复化梯形公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,证明参见教材,5.3复合牛顿柯特斯公式,三.复化Simpson公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,四.复化Cotes公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,例：,5.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,五.误差估计,5.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,六.复合求积公式步长的自动选取,5.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,4.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,步长自动选取的步骤:,有时也去掉精度会更高,以上这种方法称为自适应求积法,5.3复合牛顿柯特斯公式,以复合Simpson求积公式的特点为例,旧节点,新节点,5.3复合牛顿柯特斯公式,5.3复合牛顿柯特斯公式,分析,已知对于=106须将区间对分9次，得到T512=3.14159202,=3.141592502=S4,5.4龙贝格算法,内容一.引言二.Romberg序列三.Romberg算法,5.4龙贝格算法,一.引言综合前几节的内容,我们知道（1）梯形公式、Simpson公式、Cotes公式的代数精度分别为1次、3次和5次；（2）复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶、4阶和6阶。无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的。有没有办法改善梯形公式呢?,5.4龙贝格算法,二.Romberg序列,Romberg序列,5.4龙贝格算法,三.Romberg算法,?,?,?,Romberg算法的代数精度为m的两倍Romberg算法的收敛阶高达m+1的两倍,龙贝格法加速效果明显，计算量减少。当R2R1，停止，否则，再次二分区间，直到R2k-1R2k-2为止。,5.4龙贝格算法,例7：,5.4龙贝格算法,5.4龙贝格算法,5.4龙贝格算法,（5）把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=3.14094，S8=3.14159，C4=3.14159，R2=3.14159至此得|R1-R2|0.00001，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001。因此,5.5高斯型求积公式,内容一.问题提出二.Gauss求积公式三.Gauss求积公式的余项四.常用的Gauss求积公式五.Gauss型求积公式的优缺点,5.5高斯型求积公式,一.问题提出例：求节点x0,x1使插值型求积公式具有尽可能高的代数精度。解：首先有由于是插值型，其代数精度m1。,5.5高斯型求积公式,5.5高斯型求积公式,5.5高斯型求积公式,n+1个节点的插值求积公式的代数精确度不低于n求积公式，能不能在区间a,b上适当选择n个节点x1,x2,xn,使插值求积公式的代数精度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。,5.5高斯型求积公式,二.Gauss求积公式定理：求积公式的代数精度最高不超2n+1次。,5.5高斯型求积公式,上面共有r+1个等式,2n+2个待定系数,要想如上方程组有唯一解,方程组中方程的个数应等于待定系数的个数,即r=2n+1,这样求出的解使求积公式的代数精度至少是2n+1,下面证明代数精度只能是2n+1。如果事先已选定a,b中求积节点xk如下:ax1xnb,上式成为n个未知数A1、.An的n元线性方程组，此时要r=n时方程组有唯一解。,5.5高斯型求积公式,事实上,取2n2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2代入求积公式,有左=右=左右,故不成立等式,定理得证。,5.5高斯型求积公式,定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数。因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:插值型求积公式的代数精度d满足：nd2n+1,5.5高斯型求积公式,三.Gauss求积公式的余项高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的。Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询。,5.5高斯型求积公式,四.常用的Gauss求积公式1.Gauss-Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点对于一般有限区间a,b，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为-1,1。,5.5高斯型求积公式,GaussLegendre点及系数表,5.5高斯型求积公式,例.利用高斯求积公式计算解：令x=1/2(1+t),则用高斯-Legendre求积公式计算。取n=5积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的。,5.5高斯型求积公式,2.Gauss-Chebyshev求积公式其中高斯点为Chebyshev多项式Tn(x)的零点Tn(x)=cos(narccos(x),5.5高斯型求积公式,3.Gauss-Laguerre求积公式4.Gauss-Hermite求积公式,5.5高斯型求积公式,例10.分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下：(1)Newton-Cotes公式当n=1时,即用梯形公式,I=0.9207354当n=2时,即用Simpson公式,I=0.9461359当n=3时,I=0.9461090当n=4时,I=0.9460830当n=5时,I=0.9460831,5.5高斯型求积公式,(2)用复化梯形公式令h=1/8=0.125(3)用复化抛物线令h=1/8=0.125,5.5高斯型求积公式,(4)Romberg公式KTnSnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831,5.5高斯型求积公式,(5)Gauss公式令x=(t+1)/2,用2个节点的Gauss公式用3个节点的Gauss公式,5.5高斯型求积公式,比较此例题的精确值为0.9460831.由例题的各种算法可知：对Newto