《D34单调性》PPT课件

一、函数单调性的判定法,机动目录上页下页返回结束,二、函数的极值及其求法,函数的单调性与极值,第三章,四、曲线的凹凸与拐点,三、最大值与最小值问题,一、函数单调性的判定法,若,定理1.设函数,则在I内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明在I内单调递增.,在开区间I内可导,机动目录上页下页返回结束,证毕,例1.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动目录上页下页返回结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如,机动目录上页下页返回结束,*证明,令,则,从而,即,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,机动目录上页下页返回结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,二、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称为的极大点,称为函数的极大值;,(2),则称为的极小点,称为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,机动目录上页下页返回结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,机动目录上页下页返回结束,定理1(极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动目录上页下页返回结束,点击图中任意处动画播放暂停,例2.求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动目录上页下页返回结束,定理2(极值第二判别法),二阶导数,且,则在点取极大值;,则在点取极小值.,证:(1),存在,由第一判别法知,(2)类似可证.,机动目录上页下页返回结束,例3.求函数,的极值.,解:1)求导数,2)求驻点,令,得驻点,3)判别,因,故为极小值;,又,故需用第一判别法判别.,机动目录上页下页返回结束,定理3(判别法的推广),则:,数,且,1)当为偶数时,是极小点;,是极大点.,2)当为奇数时,为极值点,且,不是极值点.,机动目录上页下页返回结束,极值的判别法(定理1定理3)都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.,机动目录上页下页返回结束,例如,例如,当时,三、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到.,求函数最值的方法:,(1)求在内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,机动目录上页下页返回结束,特别:,当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大值,则也是最大值.,(小),对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点.,(小),机动目录上页下页返回结束,(k为某一常数),例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20,ACAB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货,D点应如何选取?,解:设,则,令,得,又,所以为唯一的,极小点,故AD=15km时运费最省.,总运费,物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问,Km,公路,机动目录上页下页返回结束,例5.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面,的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,(4)判别法的推广(Th.3),定理3目录上页下页返回结束,最值点应在极值点和边界点上找;,应用题可根据问题的实际意义判别.,思考与练习,2.连续函数的最值,1.设,则在点a处().,的导数存在,取得极大值;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示:利用极限的保号性.,机动目录上页下页返回结束,2.设,(A)不可导;,(B)可导,且,(C)取得极大值;,(D)取得极小值.,D,提示:利用极限的保号性.,机动目录上页下页返回结束,3.设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,机动目录上页下页返回结束,4.试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,求出该极值,并指出它是极大,机动目录上页下页返回结束,试求,解:,5.,机动目录上页下页返回结束,故所求最大值为,定义.设函数,在区间I上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.,图形是凸的.,四、曲线的凹凸与拐点,机动目录上页下页返回结束,定理2.(凹凸判定法),(1)在I内,则在I内图形是凹的;,(2)在I内,则在I内图形是凸的.,机动目录上页下页返回结束,设函数,在区间I上有二阶导数,例6.判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变.,在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束,例7.求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,例8.求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.可导函数单调性判别,在I上单调递增,在I上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点