《数值分析》习题课.ppt

数值分析习题课I,误差与有效数字二分法、牛顿迭代法不动点迭代与收敛阶典型例题与习题,具有n位有效数字,则绝对误差满足,2/18,相对误差满足,如果一个浮点数,1.设x*是f(x)=0在a,b内的唯一根,且f(a)f(b)0,r0使得,则称数列xnr阶收敛.,且对任意x0a,b,迭代格式产生的序列xn收敛到不动点x*,误差满足,4/18,数列加速收敛原理,定理2.6设x*是的不动点,且,而则p阶收敛,5/18,例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1(x2+x3)的误差限。,解：由|e(x1)|0.510-2，|e(x2)|0.510-2，|e(x3)|0.510-2所以,|e(x2+x3)|10-2|e(x1(x2+x3)|(1.21+0.513.46)10-2=7.9410-2,Ex1.若要x1(x2+x3)的误差限为0.510-2,问数据x1,x2,x3应该具有几位有效数?,6/18,例2.设计算球体V允许其相对误差限为1%,问测量球半径R的相对误差限最大为多少?,解：由球体计算公式分析误差传播规律,故当球体V的相对误差限为1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。,相对误差传播规律,Ex2.对z=f(x,y),若允许其相对误差为1%,问应该对x,y如何限制?,7/18,例3.采用迭代法计算，取x0=2,(k=0，1，2，),若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。,8/18,思考：反问题？,1-8序列yn满足递推关系yn=10yn-11(n=1,2,)若取y0=21.41(三位有效数字).递推计算y10时误差有多大？计算过程稳定吗？,解:取x0=1.41,则e(x0)0.005e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,10),e(x10)=10e(x9)=1010e(x0),|e(x10)|=1010|e(x0)|0.5108,计算过程不稳定！,9/18,1-12利用级数可计算出无理数的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值|an+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。,解:由部分和,10/18,2-6应用牛顿迭代法于方程x3a=0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。,解：令f(x)=x3a，则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,11/18,例4.设a为正实数，试建立求1/a的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。,xn+1=xn(2axn)，(n=0，1，2),所以,当|1ax0|1时，迭代公式收敛。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,12/18,例5.若x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛性？,解:由于f(x)=(xx*)2g(x),Ex.若x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛性,13/18,练习1将割线法修改为单点迭代公式,试分析该算法的收敛性.,14/18,练习2设计多项式乘积(卷积)算法,Pn(x)=a1xn+a2xn-1+anx+an+1,Pm(x)=b1xm+b2xm-1+bmx+bm+1,用a1a2anan+1表示Pn(x)用b1b2bmbm+1表示Pm(x),Pn+m(x)=c1xn+m+c2xn+m-1+cn+mx+cn+m+1,用c1c2cn+mcn+m+1表示Pn(x)Pm(x),15/18,练习3在计算机上对调和级数自左至右做求和计算,当n很大时，Sn将不随n的增加而增加。试说明原因。,16/18,练习4分析下列方程，确定方程的全部隔根区间,17/18,(1)xsinx=1；(2)sinxe-x=0；(3)x=tanx；(4)x2e-x=0,练习5