第2章误差的基本性质与处理.ppt

第二章误差的基本性质与处理,任何测量总是不可避免地存在误差，为了提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对各种误差的性质、出现规律、产生原因、发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面，作进一步的分析。,第一节随机误差,随机误差是在测量过程中，因存在许多随机因素对测量造成干扰，从而使测得值带有大小和方向都难于预测的误差。对测量数据中的系统误差进行处理后，仍残留微小的系统误差，这些微小的系统误差已具有随机误差的性质，也可把这种残存的系统误差当作随机误差来考虑。由于测量误差具有普遍存在的性质，决定了任何测量都存在随机误差。,研究随机误差的意义,研究随机误差不仅是为了能对测量结果中的随机误差做出科学的评定，而且是为了能够指导人们合理安排测量方案，设法减小随机误差对测量结果的影响，充分发挥现有仪表的测量精度，从而能对测量所得救据进行正确处理，使进行的测量达到预期的目的。随机误差的出现没有确定的规律，但就误差的总体而言，却具有统计规律性。随机误差可以用概率论中所研究的随机变量来描述，从而解决了对随机误差的研究方法。因此，所得结论只能是估计出随机误差的变化范围，而不能得到其确切的具体值，这在实用中是能够满足需要的。,一、随机误差的产生原因,随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素所构成，主要有以下几方面：(1)测量装置方面的因素零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。(2)环境方面的因素温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等。(3)人员方面的因素瞄准、读数的不稳定等。,二、正态分布,在满足一定要求的情况下，把随机误差看成是服从正态分布规律，是具有实用性和普遍性的。正态分布只是随机误差分布的一种近似概括，其近似程度取决于实际分布与正态分布的差异。完全严格地服从正态分布的随机误差是没有的，而近似符合正态分布的随机误差占大多数，也确实有些随机误差不服从正态分布。,正态分布规律是研究随机误差的理论基础：,(1)通过实践的检验，大量观测值的随机误差都服从正态分布。(2)对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足够多时，这些随机变量之和近似地服从正态分布，随机量越多则越近似。(3)整个经典误差理论是以正态分布为基础理论发展起来的。正态分布也是研究其它分布的基础。(4)有些测量，尤其测量次数较少时，测量误差服从什么分布规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式更难于找到，在这种情况下可用正态分布来代替。,随机误差的几个特征,若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性。在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。,服从正态分布的随机误差均具有以上四个特征。由于多数随机误差都服从正态分布，因而正态分布在误差理论中占有十分重要的地位。,正态分布的分布密度f()与分布函数F(),式中标准差(或均方根误差)；e自然对数的底，其值为2.7182,（2-2）,（2-3）,数学期望,（2-4）,（2-5）,方差,平均误差,或然误差,（2-6）,（2-7）,正态分布曲线,值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。,测量值精度参数的意义,若评价一组测量值的精确度高低，就可利用极限误差lim，标准误差，算术平均误差或然误差这些参数做置信限，故统称它们为测量列(一组测量值)精度参数。对同一组测量值的不同精度参数若按数值大小(取相同计量单位)进行排列，则有,相应的置信概率为,对不同测量列比较其精度时，则取相同置信概率所对应的精度参数进行比较，数值大者精度低，数值小者精度高。由于lim，与存在固定、简单的比例关系，它们所具有的性质是一样的，只是相应的置信概率大小不同。因此，在讨论中就以最常用的标准误差为测量列精度参数的代表。,三、算术平均值,设l1，l2，ln为n次测量所得的值，则算术平均值为,（2-8）,算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值必然趋近于真值L0。因此，在数学上又称之为最大或然值。,下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。即由前面正态分布随机误差的第四特征可知，因此,由此可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小，可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。,一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9)此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数作为参考值，计算每个测得值与的差值：(2-10)式中的为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。,若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。,算术平均值近似地作为被测量的真值,由概率论可知，如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响甚微，可予忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值被认为是最接近于真值的理论依据。一般情况下，由于实际上都是有限次测量，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值，根据误差定义则有,式中li第i个测得值，i1，2，nili的残余误差(简称残差)。,（2-9）,算术平均值简便计算法,如果测量列中的测量次数和每个测量数据的位数皆较多时，可按以下方法计算算术平均值。任选一个接近所有测得值的数l0作为参考值计算出每个测得值li，与l0的差值,因,则有,式中的为简单数值，很容易计算。,（2-10）,例21测量某物理量10次，得到结果见表21，求算术平均值。,表2-1,算术平均值的计算校核,算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。,理论上：,实际应用：当n为偶数时，有,当n为奇数时，有,式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。,（2-11）,例22用例21数据，对计算结果进行校核。,=1879.64n=10,因n为偶数，,校核计算,结论：计算结果正确。,四、测量的标准差,1测量列中单次测量的标准差标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高(如图中的第一条曲线)；反之，测量精度就低(如图中的第三条曲线)。因此单次测量的标准差是表征同一被测量的n次测量的测得值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。,标准差不同的测量列（123）,关于标准差与测得值的概念,标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。,等精度测量列中的单次测量的标准差计算：,式中n测量次数(应充分大)；i测得值与被测量的真值之差,当被测量的真值为未知时，按式(212)不能求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差vi代替真误差，而得到标准差的估计值。,（2-12）,用残余误差vi代替真误差的标准差的估计值,根据定义，有,真误差,残余误差,令,则有,（2-14）,将式(214)对应项相加得,故有,（2-15）,若将式(214)平方后再相加则得,（2-16）,将式(215)平方有,当n适当大时，趋近于零，故可忽略。,故由式(216)得,（2-17）,由式(212)可知,代入式(217)得,式（2-18）称为贝塞尔(Bessel)公式,(2-18),用残余误差表示的或然误差和平均误差,（2-19）,（2-20）,2测量列算术平均值的标准差,在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。,取方差,故有,即,（2-21）,与测量次数n的关系,式（2-21）的意义,（1）在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的，当测量次数n愈大时算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。（2）增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与测量次数的平方根成反比，因此要显著地提高调量精度，必须付出较大的劳动。（3）一定时，当n10以后己减少得非常缓慢，因此一般情况下取n10以内较为经济合理。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。,用残余误差表示的或然误差R和平均误差T,（2-24）,（2-25）,例24用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和租大误差，得到数据如下(单位为mm)：,75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求算术平均值及其标准差。,将算术平均值的计算和校核结果列于表,根据上述各个误差计算公式可得,3标准差的其他计算法,除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯法、极差法及最大误差法等。,（1）别捷尔斯法（Peters）,由贝塞尔公式(218)得,此式近似为,则平均误差,故有,算术平均值的标准差为,（2-26）,（2-27）,例2-4的例子用两种方法计算结果比较,贝塞尔法,=0.0303=0.0096,=0.0330=0.0104,别捷尔斯法,(2)极差法,用贝塞尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。,若等精度多次测量测得值服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，则两者之差称为极差,（2-28）,根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为,（2-29）,故可得的无偏估计值，若仍以表示，则有,因,（2-30）,式中dn的数值见表24。,极差法选可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。,（3）最大误差法,在有些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精确度的用来代替真值使用的量值(称为实际值或约定真值)，因而能够算出随机误差i，取其中绝对值最大的一个值，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式,（2-32）,一般情况下，被测量的真值为未知。不能按式(231)求标准差，应按最大残余误差进行计算，其关系式为,（2-31）,式(231)和式(232)中两系数Kn、Kn的倒数见表25。,最大误差法的特点,最大误差法简单、迅速、方便，容易掌握，因而有广泛用途。当n10时，最大误差法具有一定的精度。在代价较高的实验中(如破坏性实验)，往往只进行一次实验，此时贝塞尔公式成为0/0形式而无法计算标准差，在这种情况下，又特别需要尽可能精确地估算其精度，因而最大误差法就显得特别有用。,例2-4的例子各种方法计算结果比较,贝塞尔法,别捷尔斯法,=0.0303=0.0096,=0.0330=0.0104,极差法,最大误差,=0.0292=0.0092,=0.0256=0.0081,小结,贝塞尔法是由残余误差的平方和求出单次测量的标准差和算术平均值的标准差。捷尔斯法是由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差和算术平均值的标准差。极差法选取最大值xmax与最小值xmin，可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。最大误差法选取最大残余误差可简单迅速算出标准差，当n10时，最大误差法具有一定的精度。,五、测量的极限误差,测量的极限误差是统计学上的极端误差，测量结果(单次测量或测量列的算术平均值)的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值(1P)可予忽略。,（1）单次测量的极限误差,测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，可求得单次测量的极限误差。,由概率积分可知，随机误差在至范围内的概率为,引入新的变量t,概率积分为,（2-33）,（2-34）,不同t值的概率,由表可见，随着t的增大，超出的概率减小得很快。当t2，即2时，在22次测量中只有1次的误差绝对值超出2范围；当t3，即3时，在370次测量中只有一次误差绝对值超出3范围。,单次测量的极限误差,由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，因此可以认为绝对值大于3的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即,(235),当t3时，对应的概率P9973。在实际测量中，有时也可取其他t值来表。一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示,(236),（2）算术平均值的极限误差,同样可得测量列算术平均值的极限误差表达式为,通常取t3，则,（2-37）,（2-38）,有关说明：实际测量中，有时也可取其他t值来表示算术平均值的极限误差。但当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差。对于同一个测量列，按正态分布和t分布分别计算时，即使置信概率的取值相同，但由于置信系数不相同，因而求得的算术平均值极限误差也不相同。,计算举例,对某量进行6次测量，测得数据如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及其极限误差。,解：算术平均值,标准差,按t分布计算算术平均值的极限误差，查表取=0.01,按正态分布计算，同样取=0.01（P=0.99）,=2.580.019=0.049,由此可见，当测量次数较少时，按两种分布计算的结果有明显差别。故当测量次数较少，应按t分布计算算术平均值的极限误差。,关于确定测量次数的方法讨论,在精密测量中，为了减小随机误差对测量结果的影响，要求进行多次测量。作为测量结果的算术平均值，也会随测量次数n的增加而愈接近被测量的真值A0，其相应的精度参数也会相应地缩小。但测量次数增加，进行测量所付的代价也会增大。因此，正确地确定所需测量的次数，乃是进行精密测量首先要解决的实际问题，也是测量工作者非常感兴趣的问题。若想得出最佳测量次数，所要考虑的问题比较复杂。为了满足测量的需要，既要能充分利用所用测量仪表的精度又要付出比较合适的代价，可以从不同角度来分析所需测量次数n的多少，经过综合分析后确定最佳测量次数。,1根据数理统计所需子样容量来确定测量次数,在实际测量中得到的测量列，相当于在一个无穷大的母体中抽取一个子样，子样容量的大小就是测量次数n。根据子样得到的信息，对母体统计体规律(或总体统计规律)的某些特征做出统计判断，而子样(样本)容量的大小就直接影响到判断的可靠性。,通常认为，检验时要求子样容量n50。否则就要依据小子样理论，求出其统计量的确切分布来研究统计性质的问题。当子样容量小于50时得出的一些结论，其可靠性值得怀疑,只能做为分析问题的参考。但在进行实际测量的过程中，这种提法是值得商榷的，因为一般精密测量次数n达到50次是难于做到的。,2根据测量结果精度参数确定测量次数,从测量结果精度参数的计算公式可以看出，测量结果的精度参数会随n的增加而减少。随n的增加值减小，呈非线性关系。根据曲线n的形状可以看出通过增加测量次数来提高测量结果的精度，其测量次数不宜超过15。,若使测量结果的精度提高一倍，测量次数要增加到4(n4)；着想使测量结果的精度提高一个数量级，即0.1，则测量次数应增加到100。这样随着n的增加，对进行测量所付出的代价与得到的好处是不相称的。,3根据求得近似值的置信度来确定测量次数,根据小子样分布的理论，而不是用正态分布作近似的研究，当n10时，其置信概率P0.90；若n20，则P0.99，其置信度已很高了，因此，从置信概率考虑，测量次数n取1020已足够了。,4根据系统误差及粗大误差存在来考虑测量次数,确定测量次数须要考虑到系统误差的存在，对于恒定系统误差不会因测量次数的不同而有所改变，对于累进性系统误差会因测量次数的增加而加大。在系统误差与随机误差并存的情况下，随着测量次数的增加，使随机误差对测量结果的影响消弱到近于或小于系统误差对测量结果的影响以后，再继续增加测量次数，对测量是无益的。粗大误差的存在会严重歪曲测得值，使它不能反映被测量的情况，从而使测量失去意义。测量经验指出，严格认真地进行23次测量，胜过草率地进行多次测量。因为随着测量次数的增加，测量人员难免疲劳，精力不能集中，而造成粗大误差的出现。,5.根据实际测量系统采确定测量次数,为了能充分发挥所用测量仪表的现有精度，确定出合理的实用测量次数，应当根据实际测量系统采确定测量次数。实际测量系统，应包括所采用的测量方法、所用的测量仪表和进行测量所处的环境。对于不同的实际测量系统应采用不同的测量次数，其核心问题还是从测量仪表的灵敏阈来考虑，因为实际测量系统所能达到的测量精度是与测量仪表的灵敏阈相联系的。理论上指出，实际测量系统一定时，对应于所获得的测量列精度参数就一定。在实际测量系统中所用测量仪表的精度越高(即越小)，若想充分利用测量仪表所具有的测量精度，要求进行测量的次数就越多，反之要求测量的次数就越少。根据上述分析可知测量次数n的取值范围为150之间为宜，但是所需测量次数的确切值，还应根据实际测量系统来决定。,关于测量仪器灵敏阈对标准误差的影响的补充讨论,在研究等精度测量列的精度问题中,测量列精度参数是根据概率论从理论上推导出来的。确立它的条件可归结为三条：(1)测量次数要趋于无穷大(n)因为在处理测量数据时是把测得值和误差值当成连续型随机变量来处理的，并且认为其是服从正态分布的。(2)测量仪器的灵敏度可无限制地提高理论上指出，连续型随机变量在多么小的区间内都存在无穷多个点，这就要求进行测量的仪表对多么小的差别都能反应出来。(3)测得值中不含系统误差和粗大误差如果在测得值中含有系统误差或粗大误差，将使测得值具有确切变化的规律，或使测得值受到严重的歪曲。,在决定测量列精度参数的三个条件中，最重要的一条就是要求测量仪器灵敏阈能无限制地缩小，即仪器的灵敏度能无限制地提高。只有这样，才能使无论多么小的随机误差，都能在测量中反映出来，才能把随机误差的分布密度曲线看成是连续光滑的正态分布曲线。但在实际测量中，任何仪器的灵敏度度是有限的，即存在一定的灵敏阈。当测得值x处在某一确定值xa为中心的区间时(xa1/2xxa+1/2)，仪器反映不出其之间的差别，实际测到的数值皆为xa。即使测量次数n，由于存在仪器的灵敏阈，也会把实际上存在差别的数值读成同一数值，使测得值不能全面反映出随机误差的真实情况而出现误差。,谢波尔德修正公式,为了消除因存在而造成求得的标准差有误差，可根据谢波尔德公式进行修正。,(修正公式-1),式中：为对进行修正后的标准误差；为未考虑影响的标淮误差；为仪器的灵敏阈。因该式的证明较繁，故不再介绍。在此只用其结论，得出是否需要考虑仪器灵敏阈影响的标准。,仪器灵敏阈的选择标准（1）,一般标准误差值的大小最多只取两位有效数字，根据有效数字的化整原则，当存在引起的误差小于0.005，这项误差就可以忽略。即,或,代入上修正公式-1，得,满足此条件，因引起的误差就可以忽略。为便于记忆，可近似看成,(选择公式-1),仪器灵敏阈的选择标准（2）,若标注的误差值仅取一位有效数字，则可取：,(选择公式-2),在实际测量中，一般都能满足上式(选择公式-1)或式(选择公式-2)的条件，因此，都不用考虑的影响，若遇到满足不了式(-2)或式(-3)条件的情况，则应考虑用式(修正公式-1)进行修正。上述两条标准，也可作为选用测量仪表时考虑测量仪表灵敏阈的条件，即是根据测量结果精度的要求，来确定被选用仪表的灵敏度。最好能选用可忽略影响的仪表。若实在有困难可考虑修正后能满足测量精度要求的仪表。若连这种仪表都选不到，则这种测量结果的精度要求是难于满足的。,六、不等精度测量,在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精度(如标准差)，不能套用前面等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。在一般测量工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况：第一种情况，用不同测量次数进行对比测量。第二种情况，用不同精度的仪器进行对比测量。,1权的概念,在等精度测量中，各个测得值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值作为最后测量结果。在不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，这数值即称为该测量结果的“权”，记为p。因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。,2权的确定方法,最简单的方法可按测量的次数来确定权，即测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数采确定权的大小，即pini。,假定同一个被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不向的一系列测量值求得的算术平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差为,因为pini，故,上式又可写成,（2-40）,（2-41）,（2-42）,结论：每组测量结果的权与其相应的标淮差平方成反比。,3.加权算术平均值,若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果1，2，m，设相应的测量次数为n1，n2，nm，即,（2-43）,根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值应为：,将式(243)代入上式得，并简写得,（2-44）,加权算术平均值的简化计算式,为简化计算，加权算术平均值可用下式表示,式中的x0为接近i的任选参考值。,（2-46）,例211,工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度为999.9425mm(三次测量的)，999.9416mm(两次测量的)，999.9419mm(五次测量的)，求最后测量结果。,按测量次数来确定权：p13，p22，p35。选取x0999.94mm，,则有,=999.9420mm,4单位权概念,式中的为等精度单次测得值的标准差。此可认为，具有同一方差2的等精度单次测得值的权数为l。,权数为l的特别意义：,由于测得值的方差2的权数为l在此有特殊用途，故特称等于1的权为单位权，而2为具有单位权的测得值方差，为具有单位权的测得值标准差。单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。,5加权算术平均值的标准差,对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果，若已知单位权测得值的标准差，则全部(mn个)测得值的算术平均值的标准差为,因,故有,（2-49）,式(249)的意义：,由式(249)可知，当各组测量的总权数为已知时，可由任一组的标淮差，和相应的权，或者由单位权的标准差求得加权算术平均值的标准差。,（2-49）,当各组测量结果的标准差为未知时，则不能直接应用式(249)，而必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。,已知各组测量结果的残余误差为,将各组单位权化，则有,（2-51）,代入等精度测量的公式(218)，得到,再将式(250)代入式(249)得,（2-50）,关于（2-51）式的说明：用式(251)可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差，但只有当组数m足够多时，才能得到较为精确的值，一般情况下的组数较少，只能得到近似的估计值。,例212求例211的加权算术平均值的标准差。,由前例已知三组测量的加权算术平均值9999420mm，故可得各组测量结果的残余误差为,代入2-51式得,七、随机误差的其他分布,正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。随着误差理论研究与应用的深入发展，发现有不少随机误差不符合正态分布，而是非正态分布，其实际分布规律可能是较为复杂的，现将其中几种常见的非正态分布及几种统计量随机变量分布规律作简要介绍。,1均匀分布,在测量实践中，均匀分布是经常遇到的一种分布，其主要特点是，误差有一确定的范围，在此范围内，误差出现的概率各处相等，故又称为矩形分布或等概率分布。例如：仪器度盘刻度误差所引起的误差；仪器传动机构的空程误差；大地测量中基线尺受滑轮摩擦力影响的长度误差；数字式仪器在1单位以内不能分辨的误差；数据计算中的舍入误差等，均为均匀分布误差。,均匀分布的分布密度和分布函数,（2-52）,（2-53）,数学期望,分布密度函数,分布函数,方差,标准差,（2-54）,（2-55）,（2-56）,2反正弦分布,反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。例如仪器度盘偏心引起的角度测量误差；电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。,反正弦分布的分布密度和分布函数,（2-57）,（2-58）,数学期望、方差和标准差,（2-59）,（2-60）,（2-61）,3三角形分布,当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普逊(Simpson)分布。在实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。例如进行两次测量过程时数据凑整的误差；用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。,三角形分布误差的分布密度和分布函数,（2-62）,（2-63）,数学期望、方差和标准差,必须指出，如果对两个误差限为不相等的均匀分布随机误差求和时，则其和的分布规律不再是三角形分布而是梯形分布。,E=0,（2-64）,（2-65）,（2-66）,在测量工作中，除上述的非正态分布外，还有直角分布、截尾正态分布、双峰正态分布及二点分布等。,八、几个重要统计量的分布,为对随机变量分布及其参数有所了解，就要对它进行观测。把n次观测所得到的n个数值(x1，x2，.，xn)称为一个容量为n的样本，而把随机变量可取值的全体称为总体。根据样本对总体作种种有关的统计推断时，常需要用到样本的某些函数，如样本平均值，样本方差等等，把用样本作为变量的一切函数统称为统计量。由于抽样是随机的，所以容量为n的样本可以看作是一个n维随机变量，这样统计量也是随机变量，它也有本身的分布和相应的特征数字。下面介绍几个重要的统计量及它们的分布。,1.随机变量的分布,令各1，2，为个独立随机变量，每个随机变量都服从标准化的正态分布。定义一个新的随机变量,（2-67）,随机变量称为自由度为的卡埃平方变量。自由度数表示上式中项数或独立变量的个数。,分布的分布密度函数,（2-68）,式中的为函数。定义为,数学期望、方差和标准差,（2-69）,（2-70）,（2-71）,可以证明，当充分大时，曲线趋近正态曲线。值得提出的是，在这里称为自由度，它的改变将引起分布曲线的相应改变。,2.t分布,令和是独立的随机变量，具有自由度为的分布函数，具有标准化正态分布函数，则定义新的随机变量为,（2-72）,式中的为自由度。,随机变量t称自由度为的学生氏t变量。,t分布的分布密度函数,（2-73）,数学期望、方差和标准差,（2-74）,（2-75）,（2-76）,t分布的数学期望为零，分布密度曲线对称于纵坐标轴，但它和标准化正充分布密度曲线不同，如图所示。可以证明，当自由度较小时，t分布与正态分布有明显区别，但当自由度时，t分布曲线趋于正态分布曲线。t分布是一种重要分布，当测量列的测量次数较少时，极限误差的估计或者在检验测量数据的系统误差时经常用到它。,3.F分布,若具有自由度为1的卡埃平方分布函数，具有自由度为2，的卡埃平方分布函数，定义新的随机变量为,随机变量F称为自由度为1，2的F变量。,F分布的分布密度f(F),（2-78）,数学期望、方差和标准差,（2-79）,（2-80）,（2-81）,F分布也是一种重要分布，在检验统计假设和方差分析中经常应用。,第二节系统误差,在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称为系统误差。例如标准量值的不准确、仪器刻度的不准确而引起的误差。系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。,一、研究系统误差的意义,测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。因此测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差是和随机误差同时存在测量数据之中，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。否则，对随机误差的严格数学处理将失去意义，或者其效果甚微。,一、研究系统误差的意义,在分析和研究测量误差时，必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理，否则得到的结论将失去其可靠性。从测量误差对测量结果的影响来看，系统误差往往比随机误差带来的危害更大，也只有重视对系统误差的研究，才能避免因小失大的错误。同时，通过研究系统误差还可能使所进行的科学研究有新的发现和突破，对系统误差的研究，已日益受到人们的重视。随着科学技术的发展，对系统误差的研究将会逐渐深入，对它的研究成果也会对科学技术的发展起到重要的作用。,一、研究系统误差的意义,研究系统误差的处理问题，就是能否发现系统误差的存在并把它消除的问题。这主要取决于我们对被测量、参与测量各环节的性质和各种影响测量因素了解的深度，取决于对每一个具体测量条件下系统误差性质的研究和分析，所以研究系统误差应着重采用个别考察的办法，根据实际问题采取具体对待的办法来解决。因此，要想得到一个通用的、系统的、完善的办法来解决系统误差问题，目前是不可能的。由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同，它涉及对测量设备和测量对象的全面分析，并与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。因此对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的发现减小或消除系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。,二、系统误差产生的原因系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：测量装置方面的因素环境方面的因素测量方法的因素测量人员的因素,计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差。,采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。,测量人员固有的测量习性引起的误差等。,三、系统误差的分类：,1按对误差掌握的程度分已定系统误差是指误差绝对值和符号已经确定的系统误差。未定系统误差是指误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常可估计出误差范围。2按误差出现规律分不变系统误差是指误差绝对值和符号为固定的系统误差。变化系统误差是指误差绝对值和符号为变化的系统误差。按其变化规律，又可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差等。,1不变的系统误差,不变的系统误差(恒系差)就是指在整个测量过程，误差的符号和大小都固定不变的误差。该系统误差主要有：在使用时所造成的误差；测量人员的习惯误差，在该值时总是向某一方向偏移或由于观测位置不正确而造成的读值偏差；在测量中所用的比较标准带有恒定系统误差，若测量中不加修正，也会给测量结果带来恒定系统误差等。如某量块的公称尺寸为10mm，实际尺寸为10.001mm，误差为-0.001mm，若按公称尺寸使用，始终会存在-0.001mm的系统误差。,2线性变化的系统误差,在测量过程中，随某些影响因素(如测量次数或测量时间)的变化，误差值成比例增大或减小的系统误差称线性变化的系统误差，也称累进系统误差。当仪器的量程小于被测量时，需用多次测量才能测得被测量。例如，长度测量、重量测量、容积测量等均可能产生累进系统误差。如刻度值为1mm的标准刻尺，由于存在刻划误差l，每一刻度间距实际为(1+lmm)mm，若用它与另一长度比较，得到的比值为k，则被测长度的实际值为,若认为该长度实际值为Kmm，就产生了随测量值大小而变化的线性系统误差Kl。,随着测量时间的增长，在工业自动化仪表中产生累进的系统误差的情况，也是较为常见的。例如。利用标准孔板测量流量的节流式流量计，由于长时间使用孔板的锐角被磨损，也会出现测量值逐渐偏低的累进系统误差。,3周期性变化的系统误差,在测量过程中随着测量值或测量时间的变化误差值呈现周期性变化的系统误差皆属周期性变化的系统误差。如仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心值e，则指针在任一转角引起的读数误差即为周期性系统误差。此误差变化规律符合正弦曲线，指针在0和180时误差为零而在90和270时误差最大，误差值为e。,误差,4复杂规律变化的系统误差,除前述三种比较典型的系统误差变化规律外，其它都可用复杂规律变化来概括。在这类系统误差中，有的可用数学关系式表达其变化规律；有的难于用数学关系表达其复杂的变化规律。这类系统误差，可按不同的刻度位置，绘制出它的误差曲线。考虑到系统误差与随机误差的相互转化为问题，把随机误差转化为系统误差也会出现复杂规律变化的系统误差。,四、系统误差的特征,系统误差的特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。由系统误差的特征可知，在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性。它是固定的或服从一定函数规律的误差。从广义上理解，系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。,各种典型系统误差随测量过程t变化的特征,曲线a为不变的系统误差，曲线b为线性变化的系统误差，曲线c为非线性变化的系统误差，曲线d为周期性变化的系统误差，曲线e为复杂规律变化的系统误差。,不变的系统误差,线性变化的系统误差,非线性变化的系统误差,复杂规律变化的系统误差,周期性变化的系统误差,系统误差与随机误差同时存在时的误差表现特征,当系统误差与随机误差同时存在时，误差表现特征如图所示。,图中设x0为被测量的真实值，在多次重复测量中系统误差为固定值，而随机误差为对称分布，分布范围为2，并以系统误差为中心而变化。,五、系统误差的发现,发现系统误差必须根据具体测量过程和测量仪器进行全面的仔细的分析，这是一件困难而又复杂的工作，目前还没有能够适用于发现各种系统误差的普遍方法。适用于发现某些系统误差常用的几种方法有：,1实验对比法,实验对比法是通过改变产生系统误差的因素或条件进行不同条件或不同方法的测量来发现系统误差的存在。这种方法适用于发现不变的(或称恒定的)系统误差。它也是发现恒定系统误差最根本的方法。因为恒定系统误差，单凭一种测量方法或一种测量仪器是发现不了的。例如量块按公称尺寸使用时，在测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的不变的系统误差，多次重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块高一级精度的量块进行对比时才能发现它。,2残余误差观察法,残余误差观察法是根据测量列的各个残余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现有规律变化的系统误差。若系统误差显著大于随机误差，其任一测量值的残余误差为系统误差与测量列系统误差平均值之差,根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行观察，可以判断有无系统误差。,（2-83）,式中，li为测量列li的系统误差;为系统误差平均值。,2残余误差观察法,图a无系统误差图b有线性系统误差图c有周期性系统误差图d同时有线性和周期性系统误差,例2-13残余误差观察法的例子（列表法）,由表29可知，残余误差符号由负变正，误差值由小到大，则测量列中存在线性系统误差。,对恒温箱温度测量10次，测得数据如表所示。,残余误差观察法的例子（作图法）,由图可知，测量列中存在线性系统误差。,3残余误差校核法,（1）马利科夫准则这种校核法能有效地发现线性系统误差。,式中，当n为偶数，取Kn2；n为奇数，取K(n+1)2。,（2-84）,若式(284)的两部分差值显著不为零，则有理由认为测量列存在线性系统误差。,需要指出的是，有时按残余误差校核法求得差值0，仍有可能存在系统误差。,令,应用马利科夫准则发现线性系统误差的例子,例214仍用例213的测量数据，此时n10，K5，而,因差值显著不为零，故测量列中含有线性系统误差。,例:测量一电阻十次,数据记录于表,试判断有无系统误差.,解:,用残差观察法.,用应用马利科夫准则.,显著不为零,初步判定存在系统误差,存在线性系统误差,（2）阿卑赫梅特准则,这种校核法能有效地用于发现周期性系统误差,令,（2-85）,若,则认为该测量列中含有周期性系统误差。,令,若测量列服从正态分布,则有,其标准差,阿卑赫梅特准则的理论依据,4不同公式计算标准差比较法,方法原理：对等精度测量，可用不同公式计算标准差，通过比较以发现系统误差。,按贝塞尔公式,按别捷尔斯公式,令,若,(2-86),则可怀疑测量列中存在系统误差。,5计算数据比较法,方法原理：对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。,若对同一量独立测得m组结果，并知它们的算术平均值和标准差:,（2-87）,则任意两组结果与间不存在系统误差的标志是,令,其标准差为,例2-15雷莱用不同方法制取氮的实验,雷莱对用两种不同方法制取氮的实验数据分析。测得氮气相对密度平均值及其标准差为,由化学法制取氮：,由大气中提取氮：,两者差值：,由于,判断结论：因为两种方法所得结果的差值远远大于两倍标准差，故两种方法间存在系统误差。,根据比较结果，雷莱经过分析认为由于操作技术引起系统误差的可能性很小，因此雷莱没有企图设法改进制取氮的操作技术而使两者结果之差变小，相反，他强调了两种方法的实质差别，从而导致后来由雷塞姆进行深入的研究。终于发现了空气中存在惰性气体。这一新的发现，深刻揭示了两种方法差别的原因。,6秩和检验法,方法原理：对某量进行两组测量，这两组间是否存在系统误差，可用秩和检验法根据两组分布是否相同来判断。,将两组独立测量的数据混合以后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序(即秩)，再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两个次序的平均值计算。通常，两组的测量次数n1、n210，可根据测量次数较少的组的次数n1和测量次数较多的组的次数n2，由秩和检验表210查得T-和T+(显著度0.05)，若,则无根据怀疑两组间存在系统误差。,（2-88）,当n1、n210的秩和检验法,当n1、n210，秩和T近似服从正态分布,此时T-和T+可由正态分布算出，根据求得的数学期望值a和标准差则,其中，,选取概率(t)，由正态分布积分表查得ta，若,则无根据怀疑两组间存在系统误差。,例216对某量测得两组数据如下，判断两组间有无系统误差。,已知n1=3,n2=4,计算秩和T=1+4+5=10查表210得T-=7T+=17因T-7T10T+17故无根据怀疑两组间存在系统误差。,将两组数据混合排列成下表,7t检验法,当两组测得值服从正态分布时，可用t检验法判断两组间是否存在系统误差。对于独立测得的两组数据xi(i=1,2,3nx),yj(j=1,2,3,ny)构成的变量,服从自由度为nxny2的t分布变量,取显著度a，由t分布表可查得P()a中的ta，若实测数列中算出之ta，则无根据怀疑两组间有系统误差。,例217对某量测得两组数据,计算平均值：,方差：,计算t值：,由10+10218及取a0.05，查t分布表(附录表3)得,因,故无根据怀疑两组间有系统误差。,小结：,上面介绍七种系统误差发现方法，按其用途可分为两类；第一类用于发现测量列组内的系统误差，包括前四种方法，即实验对比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公式计算标准差比较法。第二类用于发现各组测量之间的系统误差，包括后三种方法，即计算数据比较法、秩和检验法和t检验法。这些方法各具有不同特点，有的只能在一定条件下应用，必须根据具体测量仪器和测量过程来选用相应的方法。例如实验对比法是发现各种系统误差的有效方法，但由于这种方法需相应的高精度测量仪器和较好的测量条件，因而其应用受到限制。残余误差观察法是发现组内系统误差的有效方法，一般情况皆可应用，但它发现不了不变的系统误差。,四、系统误差的减小和消除,在测量过程中，发现有系统误差存在，必须进一步分析比较，找出可能产生系统误差的因素以及减小和消除系统误差的方法，但是这些方法和具体的测量对象、测量方法、测量人员的经验有关，因此要找出普遍有效的方法比较困难，下面介绍其中最基本的方法以及适应各种系统误差的特殊方法。,1从产生误差根源上消除系统误差,从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分折，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。,2用修正方法消除系统误差,这种方法是预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值，将实际测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。由于修正值本身也包含有一定误差，因此用修正值消除系统误差的方法，不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量系统误差，对这种残留的系统误差则应按随机误差进行处理。,3不变系统误差消除法,对测得值中存在固定不变的系统误差，常用的几种消除法是：（1）代替法代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，放到测量装置上再次进行测量，从而求出被测量与标准量的差值，即被测量标准量+差值,（1）代替法,代替法的实