高等代数与解析几何-第八章完整ppt课件

.,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,8.1曲面的方程,下一页,返回,.,根据题意有,化简得所求方程,解,上一页,下一页,返回,.,解,根据题意有,所求方程为,上一页,下一页,返回,.,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,上一页,下一页,返回,.,得上、下半球面的方程分别是：,当A2+B2+C2-4D0时,是球面方程.,由,由上述方程可得球面的一般式方程为：,反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：,x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0（*）,(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4,上一页,下一页,返回,.,例4方程的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上方法称为截痕法.,上一页,下一页,返回,.,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,上一页,返回,.,二、曲面的参数方程,.,二、曲面的参数方程,例3(P41)求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程.,注意空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.,.,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,下一页,返回,空间曲线的方程,.,例1方程组表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,上一页,下一页,返回,.,例2方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,表示怎样的曲线？,上一页,返回,.,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,下一页,返回,.,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,上一页,下一页,返回,.,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,上一页,返回,.,观察柱面的形成过程:,定义4.1.1平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,母线,准线,上一页,下一页,返回,8.2.1柱面,.,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面方程：,平面方程：,上一页,下一页,返回,.,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面，,双曲柱面，,抛物柱面，,母线/轴,母线/轴,母线/轴,上一页,下一页,返回,.,1.椭圆柱面,2.双曲柱面,上一页,返回,.,a,b,椭圆柱面,上一页,下一页,返回,.,y,o,双曲柱面,上一页,下一页,返回,.,抛物柱面,上一页,返回,.,定义4.2.1通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.,这些直线都叫做锥面的母线.,那个定点叫做锥面的顶点.,锥面的方程是一个三元方程.,特别当顶点在坐标原点时：,8.2.2锥面,下一页,返回,.,n次齐次方程,F(x,y,z)=0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程F(x,y,z)=0是n次齐次方程：,准线,顶点,F(x,y,z)=0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程,锥面是直纹面,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.,上一页,下一页,返回,.,设锥面S的顶点在原点O，准线为曲线,设锥面S的方程为,.,椭圆锥面,上一页,下一页,返回,.,x=0,y=0,z=0,二次锥面,z=h,当h0时，该交线是椭圆；,当h=0时，该交线是原点。,所以，二次锥面也叫椭圆锥面。,.,L,C,设L为已知空间曲线,P为已知平面,三、空间曲线在坐标面上的投影,则以L为准线，垂直于P的直线为母线的柱面称为L关于P的投影柱面,投影柱面与平面P的交线C称为曲线L在平面P上的投影曲线.,特别是以L为准线，母线平行于z轴的柱面称为L关于xoy面的投影柱面,曲线C称为L在xoy上的投影曲线.,曲线L在xoy面上的投影柱面H(x,y)=0,曲线,.,类似地：空间曲线在,面上的投影曲线,面上的投影曲线,问题:各个投影柱面方程是什么?理由是什么?,曲线必在柱面上;柱面必包含曲线,.,例,求二球面的交线,在xoy坐标面上的投影曲线方程.,解,这就是消去z后所得在xoy坐标面的投影柱面方程，,因而曲线C在xoy坐标面上的投影曲线是椭圆.,把x2+y2+z2=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得y+z=1,把y+z=1代入x2+(y-1)2+(z-1)2=1,得x2+2y2-2y=0,.,例,解,半球面和锥面的交线为,圆,.,例,求曲线,在xoy,y0z坐标面上的投影曲线的方程.,解,关于xoy坐标面的投影柱面方程,因而曲线在xoy坐标面上的投影曲线是圆.,消x得到曲线关于yoz坐标面的投影柱面的方程,在yoz坐标面的投影曲线是一段抛物线,.,得x2+y23x5y=0，,在xoy坐标面上的投影曲线的方程.,例,求曲线,解,从曲线的方程中消去z，,即,它是曲线关于xoy坐标面的投影柱面圆柱面的方程，,在xoy坐标面上投影曲线是圆.,.,投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,.,4空间立体或曲面在坐标面上的投影,空间立体,曲面,.,思考题,.,解答,交线方程为,在面上的投影为,.,.,定义4.3.1以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.,这条定直线叫旋转曲面的旋转轴,这条曲线叫旋转曲面的母线,8.3旋转曲面,下一页,返回,.,曲线C,C,绕z轴,上一页,下一页,返回,.,曲线C,C,绕z轴,.,上一页,下一页,返回,.,曲线C,旋转一周得旋转曲面S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕z轴,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),.,S,上一页,下一页,返回,.,曲线C,旋转一周得旋转曲面S,C,S,M,N,z,P,.,绕z轴,.,.,f(y1,z1)=0,M(x,y,z),f(y1,z1)=0,f(y1,z1)=0,.,S,上一页,下一页,返回,.,建立旋转曲面的方程：,如图,将代入,得方程,上一页,下一页,返回,.,方程,上一页,下一页,返回,.,例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,上一页,下一页,返回,.,旋转单叶双曲面,上一页,下一页,返回,.,旋转椭球面,上一页,下一页,返回,.,旋转抛物面,上一页,下一页,返回,.,几种特殊旋转曲面,1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面,上一页,下一页,返回,.,x,0,1双叶旋转双曲面,绕x轴一周,上一页,下一页,返回,.,x,0,.,绕x轴一周,1双叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,.,x,0,.,1双叶旋转双曲面,.,绕x轴一周,上一页,下一页,返回,.,a,2单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕y轴一周,上一页,下一页,返回,.,a,.,上题双曲线,绕y轴一周,2单叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,.,a,.,.,.,2单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕y轴一周,上一页,下一页,返回,.,3旋转锥面,两条相交直线,绕x轴一周,上一页,下一页,返回,.,.,两条相交直线,绕x轴一周,3旋转锥面,上一页,下一页,返回,.,.,两条相交直线,绕x轴一周,得旋转锥面,.,3旋转锥面,上一页,下一页,返回,.,o,4旋转抛物面,抛物线,绕z轴一周,上一页,下一页,返回,.,o,.,抛物线,绕z轴一周,4旋转抛物面,上一页,下一页,返回,.,y,.,o,x,z,.,4旋转抛物面,抛物线,绕z轴一周,得旋转抛物面,上一页,下一页,返回,.,5环面,r,R,绕y轴旋转所成曲面,上一页,下一页,返回,.,5环面,绕y轴旋转所成曲面,.,上一页,下一页,返回,.,5环面,绕y轴旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,.,.,上一页,下一页,返回,.,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,下一页,返回,.,截痕法,用z=h截曲面,用y=m截曲面,用x=n截曲面,a,b,c,椭球面,上一页,下一页,返回,.,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,上一页,下一页,返回,.,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面的交线为椭圆,同理与平面和的交线也是椭圆.,上一页,下一页,返回,.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆绕轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面的交线为圆.,上一页,下一页,返回,.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,上一页,返回,.,单叶双曲面,一、单叶双曲面,双曲面,下一页,返回,.,与平面的交线为椭圆.,当变动时，这种椭圆的中心都在轴上.,（2）用坐标面与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与轴相合，虚轴与轴相合.,上一页,下一页,返回,.,单叶双曲面图形,（3）用坐标面，与曲面相截,均可得双曲线.,上一页,下一页,返回,.,二、双叶双曲面,双叶双曲面,上一页,下一页,返回,.,单叶：,双叶：,.,.,.,在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。,渐进锥面：,双曲面及其渐进锥面,上一页,返回,.,2.二次曲线方程的化简和分类,定理5.6.1适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的一个：,定理5.6.2通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：,上一页,下一页,返回,.,上一页,返回,.,曲面和曲线的一般方程,F(x,y,z)=0,曲面的一般方程:,曲线的一般方程:,曲线的参数方程:,G(x,y,z),C,S2,.,(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=r2,球面及其方程,柱面及其方程,旋转曲面方程,投影曲线方程,在xOy面的投影曲线,椭球面,截痕法,.,x=0,y=0,z=0,二次锥面,z=h,当h0时，该交线是椭圆；,当h=0时，该交线是原点。,所以，二次锥面也叫椭圆锥面。,.,x=0,y=0,z=0,单叶双曲面,椭圆,z=h,.,x=0,y=0,z=|c|,双叶双曲面,z=h,椭圆,|h|c时,|h|越大,椭圆越大,|h|=c时,椭圆退缩成点.,.,x=0,y=0,z=0,椭圆抛物面,z=h,h越大,椭圆曲线也越大,h=0时,椭圆退缩成点.,椭圆,.,(a0,b0),x=0,x=h,双曲抛物面,表示过原点，开口朝z轴负方向的抛物线。,开口朝z轴负方向的抛物线。,.,(a0,b0),y=0,y=h,双曲抛物面,表示过原点，开口朝z轴正方向的抛物线。,开口朝z轴正方向的抛物线。,.,(a0,b0),(马鞍面),z=h,双曲抛物面,当h0时，是实轴是x轴的双曲线,当h0,b0,c0),二次锥面,单叶双曲面,双叶双曲面,截痕法,椭圆抛物面,(马鞍面),双曲抛物面,.,若已知二次曲面的标准方程，则容易画出它的图形。椭球面二次锥面单叶双曲面和双叶双曲面椭圆抛物面和双曲抛物面若二次曲面的方程不是标准方程，要通过正交变换和平移变换把一般二次方程化为标准方程，从而知道其图形。,二次曲面的判别方法,.,一般三元二次方程的化简,xyz,(x,y,z),+(b1,b2,b3),xyz,+c=0,XTAX,+c=0,BTX,.,一般三元二次方程的化简,A是实对称矩阵正交矩阵P，,正交替换X=PY,Y=(x1,y1,z1),XTAX,=YT(PTAP)Y,=YTdiag(1,2,3)Y,二次型,标准形,则方程(1)变成,再令BTX=(d1,d2,d3),1x12+2y12+3z12+d1x1+d2y1+d3z1+c=0,将此方程配平方，再做平移变换，得二次方程标准形。,.,.,.,.,f(x,y,z)=2x2+y2+z2+2xy+kyz=1,例.求k的值使下面的方程表示一个椭球面.,上述方程表示一个椭球面A正定,而P1=20,P3=|A|=1k2/2.,个椭球面.,.,二次曲面方程的化简和分类,定理适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以化成下列五个简化方程中的一个：,.,定理通过适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：,.,.,二次曲面方程的化简和分类,椭球面（单页，双叶）双曲面（椭圆，双曲）抛物面（椭圆，双曲，抛物）柱面椭圆锥面（两相交，两平行，重合）平面一条直线一点,（双曲，抛物）锥面,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,a11x2+a22y2+a33z2,+2a12xy+2a13xz+2a23yz,+b1x+b2y+b3z+c=0,一般方程,二次型,xTAx,+c=0,BTx,6.3二次曲面,.,标准方程,xTAx+BTx+c=0,平移或旋转变换,.,例15.x2+y2+z22xz+2y=0.,则原方程化为y2+2z2+2y=0.,即(y+1)2+2z2=1.,.,例15.x2+y2+z22xz+2y=0.,则原方程化为y2+2z2+2y=0.,即(y+1)2+2z2=1.,再作平移变换,则上式化为y2+2z2=1.,可见原方程表示一个椭圆柱面.,.,则原方程化为x2+2(y1)=0.,例16.x2+y+z2=0.,再作平移变换,可见原方程表示一个抛物柱面.,该变换是对坐标轴作了一个旋转.,.,注1：在例16中将两个一次项之和化为一个一次项时，用了一个正交变换，如何看出它是一个旋转变换呢？,事实上，对于一个正交变换x=Qy,如果|Q|=1，则称该变换是第一类正交变换，其对应的是将坐标轴作了一个旋转。如果|Q|=-1，称该变换是第二类正交变换，其对应的是将坐标轴作了一个“镜像变换”(可以先做一个旋转)。(了解即可),.,注2：如果一个方程的形式为,x2+ay+bz+c=0,其中a,b不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面.,进一步,如果一个方程的形式为,x2+dx+ay+bz+c=0,其中a,b不同时为零，那么它一定表示一个抛物柱面.,.,6.3二次曲面,第六章二次型与二次曲面,例17.z=xy.,A,.,可见原方程表示一个双曲抛物面.,则原方程化为x2y2=2z,xyz,令,=,0,0,001,xyz,.,特别地，假设二次曲面方程为如下形式，,a11x2+a22y2+a33z2,+2a12xy+2a13xz+2a23yz=1,xTAx=1.,记,，,，,方程即为,.,不难求出实对称阵A的特征值1,2,3(从而知道A的正负惯性指数),然后对曲面分类.,1.当三个特征值均大于零时，曲面为椭球面.,2.当三个特征值均小于零时，曲面为虚椭球面.,3.当有两个特征值大于零，一个特征值小于零时，曲面为单叶双曲面.,4.当有两个特征值小于零，一个特征值大于零时，曲面为双叶双曲面.,5.当有两个特征值大于零，一个特征值等于零时，曲面为椭圆柱面.,.,6.当有两个特征值小于零，一个特征值等于零时，曲面为虚椭圆柱面.,7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零时，曲面为一对平行的平面.,8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零时，曲面为一对平行的虚平面.,7.当有一个特