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1,9.2一阶微分方程,最基本的微分方程是一阶微分方程。一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y)=0或y=f(x,y),其中F(x,y,y)是x,y,y的已知函数；f(x,y)是x,y的已知函数。,2,一、可分离变量方程,分离变量方程：,可分离变量的微分方程：通过适当变形，能够转化为分离变量方程,解法,分离变量法,为微分方程的解.,3,例题讲解,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,4,例题讲解,例2求解微分方程,解,分离变量,两端积分,5,例题讲解,例3求解微分方程,解,分离变量,两端积分,6,例题讲解,例4*求解微分方程,解,分离变量,两端积分,7,例题讲解,例5商品的需求量Q对价格弹性为kp，且最大需求量为50（即Q(0)=50）,则Q对p的函数关系为_?,解,分离变量,两端积分,8,课堂练习,解,9,课堂练习,10,课堂练习答案,解,11,课堂练习答案,解,12,二、齐次微分方程,的微分方程称为齐次方程.,解齐次方程的基本思路：将齐次方程转化为分离变量方程,解齐次方程的基本方法：变量变换法,具体解法：,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,13,齐次微分方程的解,粉嫩公主酒酿蛋,.,15,例题讲解,例：求齐次微分方程,16,例题讲解（续）,分离变量方程：,17,例题讲解,例：,18,例题讲解,例：已知生产某种产品的总成本C由可变成本与固定成本两部分构成。假设可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于产量平方与可变成本平方之和(x2+y2)除以产量与可变成本之积的二倍(2xy)即dy/dx=(x2+y2)/(2xy);固定成本为1；x=1,y=3.求总成本函数CC(x)?,19,例题讲解(续),20,例题讲解,例：求解微分方程,解,微分方程的解为,21,课堂练习,解,22,课堂练习,解,23,课堂练习,解,24,*可化为齐次方程的微分方程,25,三、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,26,一阶线性微分方程的解法,(1)线性齐次方程,(使用分离变量法),齐次方程的通解为,27,解法,(2)线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,28,常数变易法,常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质未知函数的变量代换,作变换,积分得,29,常数变易法(续),一阶线性非齐次微分方程的通解为,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,30,例题讲解,例：,解,31,例题讲解,例：,解,32,例题讲解(x为因变量),例：求方程2ydx-(x+y4)dy=0的通解
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