数理方程参考答案4第四章 积分变换法

1 第第四四章章 积分变换法积分变换法 一、重点难点分析一、重点难点分析 分变换法是求解无界区域上定解问题的有效方法，其基本思想是通过函数的积分变换， 把微分运算转化为代数运算，从而减少偏微分方程中自变量的个数，将线性偏微分方程变为 含有较少变量的线性偏微分方程、常微分方程或代数方程，最终使问题得到简化。 学习本章应以下列两个方面为重点：一是两种积分变换傅里叶变换和拉普拉斯变换 的定义、性质；二是两种积分变换法在求解无界区域上定解问题的应用。 本章的难点是傅里叶逆变换和拉普拉斯逆变换的计算，需要掌握相关的性质和一些基本 函数的积分变换。 二、知识总结二、知识总结 傅里叶变换及其逆变换的定义 定义定义 假设I是数集(实数或者复数)，()xsK,为,baI 上的函数,这里,ba为任意区间。 如果函数( )xf在区间,ba有定义并且对任意sI, ()( ),K s xfx和为,ba上可积函数, 则 含参变量积分 ()( )( ),d b a K s xfxxF s= 定义了一个从( )xf到( )sF的变换，称为积分变换积分变换,()xsK,为变换的核。核。 在具体的变换中，()xsK,具有不同的表现形式，对 ( )fx有具体的要求。常用的积分变 换有傅里叶变换和拉普拉斯变换。 定理（傅里叶积分定理）定理（傅里叶积分定理） 若函数( )f x在(,) +上的任意有限区间上满足狄利克雷条 件，即满足： （1） 在区间上连续或只有有限个第一类间断点, （2） 在区间上至多有有限个极值点， 且在(,) +上绝对可积，那么对任意(,)x +有 若 在 点连续，则 2 定义定义 设函数( )f x在(,) +上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在(,) +上绝 对可积，则称广义积分 为的傅里叶傅里叶变换变换，或者称为的像函数像函数。通常记为，或。 定义定义 称 为的的傅里叶傅里叶逆变换逆变换，或者称为的像原函数像原函数。记为. 傅里叶变换及其逆变换的基本性质 性质性质 1 1（线性性质）（线性性质） 傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即 其中 ， 是任意常数。 性质性质 2 2（相似性质）（相似性质） 对于任意实常数，有 . 性质性质 3 3（位移性质）（位移性质）对于任意实常数 ，有 , . 性质性质 4 4（微分性质）（微分性质）设 ，的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,的傅里叶变换存在，则 . 性质性质 5（乘多项式性质）（乘多项式性质）设的傅里叶变换存在，则 3 . 性质性质 6 (积分性质积分性质) . 性质性质 7 (对称性质对称性质) . 定义定义 设函数和是上定义的函数。 如果广义积分 对 于所有的都收敛，则称该积分为 与 的卷积卷积。记为 . 性质性质 8 8（卷积性质）（卷积性质） 或者 性质性质 9 9（像函数的卷积（像函数的卷积性质性质） 或者. 性质性质 1010（ParsevalParseval 等式）等式） 傅里叶变换的应用 一维热传导方程的初值问题 2 2 2 0 0(,0), |( ). t uu axt tx ux = = = 的解为 ，. 其中 4 称为热核热核，也称为一维热传导方程初值问题的基本解基本解。 定理定理 如果函数在上连续且有界，则由给出的函数是初值问题 的古典解，且当时，关于无穷次连续可微。 无限长杆上的热传导问题 2 2 2 0 ( , )(,0), |( ). t uu af x txt tx ux = = = 的解为 ( ) 2 2 2 2 () () 4() 4 0 11( , ) ( , )ddd 22 x x t at a t f u x tee atat =+ . 定理定理 如果函数在上连续且有界，在上连续且 有界。则由给出的函数是初值问题的古典解。 一维波方程的初值问题 22 2 22 0 0 0(,0), |( ),( ). t t uu axt tx u uxx t = = = = 的解为 二维拉普拉斯方程的边值问题 22 22 0 | | 0(,0), |( ), lim0. x x uu xy xy uf x u = + += 的所有 都存在。 称常数 为函 数的增长阶。 如果， 则 称是的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换， 也 称是的像原函数像原函数或者 原函数原函数。它的形式是 拉普拉斯变换及其逆变换的基本性质 性质性质 1 1 （线性性质）（线性性质） ， 其中是任意常数。 性质性质 2 2（位移性质）（位移性质） 性质性质 3 3（相似性质）（相似性质） 性质性质 4 4（微分性质）（微分性质） 若 在上连续且不超过指数增长， 在上分段连续，则 的拉普拉斯变换变换存在， 且对Re， 有 ， 其中 是函数 的 增长阶。一般地，如果 , ,在上连续且不超过指数增长，在上分段 连续，则的拉普拉斯变换变换存在，且有 ( )( )(0)ftff= 6 . 性质性质 5 5（积分性质）（积分性质） 性质性质 6 6（乘多项式性质）（乘多项式性质） 性质性质 7 7 （延迟性质）（延迟性质） 其中是以下所定义的阶梯函 数 性质性质 8 8（初值定理）（初值定理） 性质性质 9 9（终值定理）（终值定理） 性质性质 1010（卷积性质）（卷积性质）称为函数 与 的卷积卷积。则有 或者 拉普拉斯变换及其逆变换的应用 半无界热传导方程的定解问题 2 2 2 0 0 0(0,0), |0, ( ). t x uu axt tx u uf t = = = = = . 的解为 . 定理定理 若 在上连续且有界，则由式给出的函数是初值问题的古典解。 利用傅里叶变换或者拉普拉斯变换求解定解问题的主要步骤是： (1) 根据自变量的取值范围以及定解条件的具体情况，选择合适的积分变换； 7 (2) 对方程进行傅里叶变换或者拉普拉斯变换，并考虑初值条件或边值条件； (3) 从变换后的方程中求出像函数； (4) 对像函数进行逆变换，所得到的原像函数即是原来定解问题的解。 三、三、典型例题典型例题 例例 1 1 设 a 是正的实常数，证明 | | 22 1 d a xi x a ee a = + . 证明证明 利用傅里叶变换与逆变换的定义，有 | | | d a xa xi x eeex =F 和 | | | 1 d 2 a xa xi x eee = F. . 而 | | | | | | 0 () 0 22 d cosdsind 2cosd 2Red 1 2Re 2 a xa xi x a xa x ax a x ix eeex ex xiex x ex x ex ai a a + = = = = = + = + ， F 将以上结果代入式可得 | | 22 1 d a xi x a ee a = + . 例 2 求解热传导方程 2 2 2 0(,0) uu axt tx = = 求解以上带参数 的常微分方程，得 对上式作傅里叶逆变换，并运用卷积性质得到 22 2 2 22 22 2 2 2 2 1 1 4 44 4 0 2 ( , ) ( , ) sin* 1 sin()d 2 1 sin cos dcos sin d 2 sin cos d sin1 4 2 sin . at s a t ss a ta t s a t a t a t u x tut xe exss at exs sexs s at x es s at x ea t at ex = = = = = = = F F 例例 3 3 求函数 2 ( ) 2 +5 p F p pp = 的拉普拉斯逆变换 解解 因为 2222 1 111 2 +5(1) +4(1) +4(1) +4 ppp ppppp + =+ , 由延迟性质 1 2 1 cos2 (1) +4 t p et p = L, 而 11 222 1121 sin2 (1) +42(1) +22 t et pp = LL, 因此 11 2 1 ( )(cos2sin2 ) 2 +52 t p F pett pp =+ LL. 例例 4 解常微分方程的初值问题 9 ( )( )( ) ( )( ) 222 2 00, 00. na TtT tf t l TT += = ， 解解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设 ( )( )( ),( )Ff tTT t= LL，则 ( )( ) 222 2 2 (0)(0)( ) na TTTTF l += 代入初始条件, 解得 ( ) ( ) 222 2 2 F T na l = + , , 而 222222 22 22 1 sin n a lln a l t nanan an al ll = + L, 故对( )T取拉普拉斯逆变换得 ( )( )() ( ) ( ) 1 0 sin sin()d . t T tT ln a f tt n al ln a ft n al = = = L 例例 5 5 求解下列无限长杆上的热传导问题 2 2 2 0 ( , )(,0), |( ). t uu af x txt tx ux = = = 对上述问题再作关于 t 的拉普拉斯变换，并记 u ( , ) ( , ),ut =L f ( , ) ( , )ft =L，则 u 22 ( , )( )a + ( , )( , )uf =, 即 11 22 ( )( , ) ( , ) f u a + = + , 作拉普拉斯逆变换得到 2222 2222( ) 0 ( , )( )( , )* ( ) ( , )d atat t atat utefte efe =+ =+， 再对上式取傅里叶逆变换，得到 2 2 2 2 () () 4() 4 0 11( , ) ( , )( )dd d . 22 x x at t a t fe u x te atat =+ 四、四、习题习题解答解答 . 求函数 的傅里叶变换，其中 a 是正常数。 解解 由傅里叶变换的定义有 ()() 00 sin ( ) d 2 d 2 cos()sin()cos()sin() d 2 sin()sin() 2dd. 22 iaxiax i x i axi ax ax f x x ee ex ix ee x ix axiaxaxiax x ix axax xx xx + = = = + = + =+ FF 利用公式 0 (0) sin 2 d (0) 2 a ax x x a = ，则 00 sin()sin() d,d 22 axax xx xx + = ，所以 sinax x = F. （2） 若a=，则 (0), (0), a a = =+= + = 所以 sin 2 ax x = F. （3） 若a时，此时 00 sin()sin() d,d 22 axax xx xx + = = , 从而 sin 0 ax x = F. （ii）当00,0aa+ = ， ，F . 求解初值问题 2 2 0 0(,0), 0, 0, | , 0, t uu xt tx x u cx = = = 其中是常数。 解解 记 () () 0 0 ( ) 0 x x cx = 求解该常微分方程，得 2 ( , )( ) t ute =, 对上式作傅里叶逆变换，并运用卷积性质得到 ()( )() ( )() ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 4 () 4 () 4 0 , 1 2 1 2 d 2 1erf. 22 t t x t x s t x s t u x te xe xe t s eds t c es t cx t = = = = = =+ F F . 求定解问题 2 2 0 0(,0), |( ) t uu tuxt tx ux = = = 求解该常微分方程，得 2 22 2 ( , )( ) t at ute =, 对上式作傅里叶逆变换，并运用卷积性质, 得到 14 () ( ) ( ) 2 22 22 22 1 2 42 () 42 ,( ) 1 2 1 d . 2 t at xt t y xt t u x te exe t ey ey t = = = F . 用积分变换法求解下列初值问题： 22 2 22 0 0 ( , )(,0), |( ), ( ). t t uu af x txt tx u uxx t = = = = 该方程的通解为 0 1 ( , )cos sin( , )sin()d t utCa tDa tfat a =+ , 由条件 0 0 d | , d t t u u t = = =得 ( ) ( ), CD a =，所以 0 sin1 ( , )( )co s( )( , )sin() t a t uta tfatd aa =+ , 注意到 1 ( )co s ( ) ( ) 2 iatiat a tee =+，所以 ()() 1 1 ( )cos 2 a txatxat =+F, 而 1 sin ( ) at a t gx = F, 其中 1 (), ( )2 0( at atxat gx ，有 ()() () () 22(1) 00 2(1)(1)2 0 0 (1)2 0 (1) 0 (1)(1) 22 0 0 (1) 3 0 3 dd 11 d 11 1 d 1 2 d 1 22 d 11 2 1 2 1 ttt tt t t tt t t e ett et t eet et tet teet e + + + + + + = = + + = + = + = + + = + = + ， 所以 () 2 3 2 . 1 t t e = + L . 解常微分方程的初值问题： 16 ( )( )( ) ( )( ) 2 0, 0. Tta T tf t TbTc += = 解解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设( )( )( ),( )Ff tTT t= LL，则 ( )( ) 22 ( )Tbca TF +=， 即 ( ) ( ) ( ) 22222222 1Fbcaca TFb aaaaaa + =+ + ， 拉普拉斯逆变换，得 ( )( )()( )