《傅里叶光学基础》PPT课件

第一章,傅里叶光学基础,第一章傅里叶光学基础,11二维傅里叶分析12空间带宽积和测不准关系式13平面波的角谱和角谱的衍射14透镜系统的傅里叶变换性质,1.1二维傅里叶分析,1.1.1定义及存在条件复变函数器g(x,y)的傅里叶变换可表为G(u,v)=Fg(x,y)=-g(x,y)exp-i2(ux+vy)dxdy(1)称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。(1)式的逆变换为g(x,y)=F-1G(u,v)=-G(u,v)expi2(ux+vy)dudv(2),傅里叶-贝塞尔变换,设函数g(r,)=g(r)具有圆对称，傅里叶-贝塞尔变换为G()=Bg(r)=2org(r)Jo(2r)dr其中Jo为第一类零阶贝塞尔函数傅里叶-贝塞尔逆变换为g(r)=B-1G()=2oG()Jo(2r)d,变换存在的条件为(1)g(x,y)在全平面绝对可积；(2)g(x,y)在全平面只有有限个间断点，在任何有限的区域内只有有限个极值；(3)g(x,y)没有无穷大型间断点。以上条件并非必要，实际上，“物理的真实”就是变换存在的充分条件。以下我们常用g(x,y)G(u,v)表示变换对对于光学傅里叶变换，x，y是空间变量，u，v则是空间频率变量。在一维情况下，有时也用希腊字母v表示频率变量。,1.1.2函数的傅里叶变换,由函数的定义容易得到(x-xo,y-yo)exp-i2(uxo+vyo)(3)当xo=0，yo=0时得到(x,y)1(4)上式的物理意义表示点源函数具有权重为l的最丰富的频谱分量因此光学中常用点光源来检测系统的响应特性，即脉冲响应(3)式还可表为,(x-xo,y-yo)=-exp-i2u(x-xo)+v(y-yo)dudv它正是函数的积分表达式根据函数的偏导数的定义-(n)(x)g(x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到(k,l)(x,y)的傅里叶变换(k,l)(x,y)=k+l(x,y)/xkyl)(i2u)k(i2v)l(7),1.1.3傅里叶变换的基本性质,(1)线性(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)缩放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)G(u/a,v/b)/|ab|(9)上式表明空域信号的展宽将引起频域信号的压缩.特别是当a=b=-1时，得到反演的变换性质：g(-x,-y)G(-u,-v)(10)(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)expi2(uxo+vyo)G(u,v)(11)上式表示原函数的位移引起变换函数的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)G*(-u,-v)(12),(5)卷积(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷积定义：g(x,y)h(x,y)=-g(,)h(x-,y-)dd易证明:g(x,y)h(x,y)G(u,v)H(u,v)函数的卷积有特殊的性质：g(x)(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)(k,l)(x,y)=g(k,l)(x,y)(16)(6)导数的变换公式可由(7)式导出g(k,l)(x,y)(i2u)k(i2v)lG(u,v)(17),(7)相关(correlation)函数g(x,y)和h(x,y)的相关定义为g(x,y)h(x,y)=-g(,)h(x+,y+)dd当g=h时成为自相关，有g(x,y)g(x,y)=-g(,)g(x+,y+)dd相关的变换可以利用卷积的变换公式导出：g(x,y)h(x,y)=g*(-x,-y)h(x,y)G*(u,v)H(u,v)g(x,y)g(x,y)G(u,v)2(21)自相关与功率谱构成傅里叶变换,(8)矩(moment)g(x,y)的(k,l)阶矩定义为Mk,l=-g(x,y)xkyldxdy(22)将逆变换表达式(2)代入上式，得到Mk,l=-G(u,v)dudv-xkylexpi2(ux+vy)dxdy由函数导数的变换表达式(7)，上式内部的积分-xkylexpi2(ux+vy)dxdy=(i2)-k-l(k,l)(u,v)矩的表达式Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0),(9)Parseval定理g(x,y)h(x,y)G*(u,v)H(u,v)式可用逆变换表达式改写为-g(,)h(x+,y+)dd=-G*(u,v)H(u,v)expi2(ux+vy)dudv令x=y=0，上式为-g(,)h(,)dd=-G*(u,v)H(u,v)dudv这一关系式称为Parseval定理当h=g时，上式化为-g(,)2dd=-G(u,v)2dudv该式又称完备关系式，实际上是能量守恒定律在空域和频域中表达式一致性的表现,1.1.4特殊函数及其傅里叶变换,1、rect(x)，(x)及sinc(x)函数定义(1)rect(x)函数rect(x)=1，|x|rect(x)=0，其他(2)(x)函数(x)=1-|x|，|x|1(x)=0，其他(3)sinc(x)函数sinc(x)=(sinx)/x,-,1,1.1.4特殊函数及其傅里叶变换,rect(x)，(x)及sinc(x)函数傅里叶变换：傅里叶变换分别为rect(x)sinc(u)sinc(x)rect(u)(x)sinc2(u),1.1.4特殊函数及其傅里叶变换,2、符号函数sgn(x)和阶跃函数step(x)符号函数sgn(x)定义sgn(x)=1，x0sgn(x)=0，x=0sgn(x)=-1，x0step(x)=0，x(2+2)/(17)则菲涅耳衍射的公式化为(x,y,z)=exp(i2z/)/izexpi(x2+y2)/z-(,)exp-i2(x+y)/zdd(18)(18)就化为远场衍射即夫琅和费衍射的情况。(18)式还可表为(x,y,z)=(A/z)(x/z,y/z)(19)上式表示除了与积分变量无关的相位因子A以外，为的傅里叶变换，频域宗量为x/z及y/z,1.3.5角谱的衍射,设在xy平面上有一不透光的屏，屏上带一透光的孔，孔的复数透过率用光瞳函数p(x,y)来表示，p(x,y)可以是复数这样，屏后面的透射场t可用入射波的场i表为t(x,y)=i(x,y)p(x,y)(20)在频域中，上式变为At(/,/)=Ai(/,/)P(/,/)(21)式中P为p的角谱(21)式说明透射波角谱为入射波角谱与光瞳函数角谱的卷积引入光阑后，一般来讲信号的空间分布受到压缩,根据测不准原理，信号在频域中的分布必然展宽.(21)式所示的卷积运算的结果，总是使入射波的角谱变得更加平滑，换言之，有更多的能量扩散到高频段中去(12)式为角谱在自由空间中的衍射公式.如果考虑到xy平面上光瞳函数的作用，(12)式改写为(22)(12)式或(22)式原则上可以解决任何光波的传播及衍射问题,1.4透镜系统的傅里叶变换性质,远场衍射即夫琅和费衍射(x,y,z)=exp(i2z/)/izexpi(x2+y2)/z-(,)exp-i2(x+y)/zdd(18)(18)式表明，远场衍射具有傅里叶变换的特性由于薄透镜或透镜组的后焦面等价于，因而可以想像凡是具有正焦距的光学系统都应当具有傅里叶变换的功能,设用振幅为l的单色平面波照射一个在xy平面上，且振幅透过率为g(x,y)的物体，则物体后面的场为g(x,y)光场用平面波角谱展开：g(x,y)=-G(/,/)expi2(x+y)/d(/)d(/),由于透镜组具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同样的方向余弦,的入射波都将会聚到透镜组后焦面的一点Q(u,v)上。当透镜组焦距f(u2+v2)1/2时，即Q点很接近于原点时，有下面的近似等式uf,vf(2)g(x,y)的角谱中所有方向余弦为,的角谱分量都对Q点有贡献，Q点的的复振幅自然就等于G(/,/)，因而后焦面上的复振幅分布为G(/,/)=G(u/f,v/f)(3),这样，透镜组的后焦面就成为信号的频域，透镜组起了傅里叶变换的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光镜、自聚焦透镜等，都具有傅里叶变换的功能。薄透镜的傅里叶变换功能可以直接计算出来，但它只是光学傅里叶变换器件的一个特例我们用u，v来表示频域的坐标，也可以表示空间频率变量。在一维的情形下也用v来表示空间频率变量。,注意uf,vf(2)只是近轴近似严格来说，u=ftg=f/(1-2)1/2(=cos)(4)式中是波矢量k与z轴的夹角。为简单起见，设k位于xz平面内(4)式又称正切条件，只是在很小时，才满足(2)式。当较大时，傅里叶平面(后焦面)上的线度u与空间频率/并不满足正比关系。,从几何光学知道，一个像差校正得很好的透镜必须满足正弦条件，而正弦条件与正切条件是难以同时满足的，所以，性能完善的傅里叶变换透镜是很难设计的。不过在大多数情况下，光学变换是作为近似的模拟变换而加以应用的，再说推导薄透镜的相位变换公式时已经引入了近轴近似。在大多数应用中，无论是薄透镜或是透镜组仍然是最方便、廉价的光学傅里叶变换器件。,透镜系统的相位变换公式,由于透镜系统能将平面波转换成球面波，所以它的相位变换效应可以表为tl=exp(ik)exp(ikr)/r(5)式中为透镜组的等效厚度。r=OP，O是会聚球面波的中心，也是透镜系统的焦点，OQ=OM=f，f为焦距，在近轴近似下，PQMN=h，,tl=exp(ik)exp(ikr)/rr=f+PQf+h。因为2+2+f2=r2(f+h)22+2(f+h)2-f22fhh(2+2)/2f所以rf+h=f+(2+2)/2f(6)式中(,)是P点坐标，代入(5)式，取分母上的rf,得透镜系统的相位变换公式tl=expik(-f)expik(2+2)/2f/f(7),透镜系统对图像的变换公式,设光波在dl和d2范围内的传播满足菲涅耳近似条件，则由1.3节(16)式透镜前表面的场l可表为l(,)=eikd1/id1-o(x,y)expik(-x)2+(-y)2/2d1dxdy(8)透镜L的相位变换效应可表为l(,)=tll=(e-ikf/f)exp-ik(2+2)/2fl(,)(9)其中略去了常数相位项exp(ik),设输入平面的透过率为o(x,y)，它位于透镜L前dl处输出平面uv位于L后d2处。物体用振幅为1的单色光波照明。,利用菲涅耳变换公式，得到输出平面(u,v)上的场l(u,v)=exp(ikd2)/id2-l(,)expik(u-)2+(v-)2/2d2dd(10)将(8)，(9)代入(10)式，得l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)expik(u2+v2)/2d2/2d1d2f-o(x,y)expik(x2+y2)/2d1I(x,y)dxdy(11)其中I(x,y)=-expik/2(1/d1+1/d2-1/f)(2+2)-2(x/d1+u/d2)-2(y/d1+v/d2)dd=I1(x,y)I2(x,y)(12)Ij=-expi(k2/2-kj)d(j=1,2)(13)=1/d1+1/d2-1/f,1=x/d1+u/d2,2=y/d1+v/d2,讨论：,以(15),(16)式代入(12)式，再代入(11)式，经整理，得到,(a)0,(15)(16),(18),当d2=f，即以后焦面作为输出平面，则(18)式化作(19)此时是o的傅里叶变换(相位因子除外，在探测光强时相位因子不起作用)，宗量是(u/f,v/f),当d2=f,d1=f时，相位因子消去，(20)是o的傅