2010年考研数学模考视频班讲义-铁军

.万学海文2010年全国硕士研究生入学统一考试全真模拟试题数学一得分评卷人一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则 (A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能 （2）设在上连续且单调减少，则在内 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值 （3）设周期函数f(x)在内可导，周期为4，又极限，则曲线y=f(x)在点处的法线斜率为 (A) (B) 0 (C) 1 (D) （4）下列命题中正确的是（ ）(A) 设正项级数发散，则(B) 设收敛，则收敛. (C) 设 ，至少一个发散，则发散（D）设收敛，则，均收敛. （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.则以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . （6）设阶方阵， ，记向量组：，：，III：.如果向量组III线性相关，则(A) 向量组（）线性相关 (B) 向量组（）线性相关 (C) 向量组（）与（）都线性相关 (D) 向量组（）与（）至少有一个线性相关 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标概率为此人在四次射击中命中二次，且是连中的概率为 （A）（B）（C）（D） 设随机事件与成立则有（A）（B）（C）（D） 得分评卷人二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）已知单位向量，与z轴的夹角为钝角，又，则.（10）伯努利方程的通解为.（11）设则.（12）设幂级数在x=2处条件收敛，则其收敛域为.（13）设A为三阶实对称矩阵，是的解，是 的解，则常数.设随机变量的分布函数其中为常数.已知的数学期望则的方差三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.得分评卷人（15）（本题满分10分）已知，求.得分评卷人（16）（本题满分10分）设在的某邻域内具有二阶连续导数，曲线和具有相同的凹凸性.证明曲线和在点处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当时，是比高阶的无穷小。（17）（本题满分10分）求曲线AB：的方程，使曲线与两个坐标轴及过点（x,0）的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于得分评卷人（18）（本题满分10分）已知且对任何自然数.证明：当时，幂级数收敛，并求其和函数。得分评卷人得分评卷人（19）（本题满分10分）计算，其中为连续函数，S为平面在第四卦限部分的上侧.（20）（本题满分11分）设为四维列向量，。已知的通解为 其中为对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数。令，试求的通解。得分评卷人得分评卷人（21）（本题满分11分）已知、为四阶矩阵，若满足，且行列式 ，（1）求的特征值；（2）证明可对角化；（3）计算行列式得分评卷人（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，其中又设试求()与的概率密度与；() 与的协方差；() 与的相关系数.得分评卷人（23）（本题满分11分）设随机变量X的分布密度为，设来自总体X的简单随机样本，试求（）未知参数的矩估计量和最大似然估计量；（）验证，是否无偏估计。万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试全真模拟试题数学二得分评卷人一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是（ ） (A) (B) (C) (D) （2）当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则 (A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能 （3）设在上连续且单调减少，则在内 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值 （4）设周期函数f(x)在内可导，周期为4，又极限 ，则曲线y=f(x)在点处的法线斜率为 (A) (B) 0 (C) 1 (D) （5）设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）(A) (B) (C) (D) . （6）设，常数.则积分的值（ ） (A) 为正 (B) 为负 (C) 为零 (D) 当时为正，当时为负 （7）设，为三阶非零矩阵，且，则 （A）时，必有. （B）时，必有. （C）时，必有. （D）时，必有 （8）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . 得分评卷人二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）极限.（10）曲线在点处的曲率为.（11）定积分 为正整数）的值为 .（12）交换积分次序 .（13）已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为.（14）设A为三阶实对称矩阵，是的解，是得分评卷人 的解，则常数.三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）证明：方程内有且仅有3个实根，并指出它们各分布在哪几个互不相交的区间上.（16）（本题满分11分） 已知，求.得分评卷人得分评卷人（17）（本题满分10分）设在的某邻域内具有二阶连续导数，曲线和具有相同凹凸性.证明曲线和在点处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当时，是比高阶的无穷小。（18）（本题满分10分）已知函数有二阶连续偏导数，且，又设是由确定的函数，求.得分评卷人得分评卷人（19）（本题满分11分）设单调增加，存在连续导数，与互为反函数. 证明： .得分评卷人（20）（本题满分10分）设函数在上连续，且满足方程, 求。得分评卷人（21）（本题满分10分）设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。（22）（本题满分11分）设为四维列向量，。已知的通解为 其中为对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数。令，试求的通解。得分评卷人得分评卷人（23）（本题满分11分）已知二次型，则（1） 求该二次型的矩阵和秩.（2） 当该二次型的秩为2时，求正交变换，把二次型化成标准形。万学海文2010年全国硕士研究生入学统一考试全真模拟试题数学三得分评卷人一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则 (A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能 （2）设在上连续且单调减少，则在内 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值 （3）设函数在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）设周期函数f(x)在内可导，周期为4，又极限 ，则曲线y=f(x)在点处的法线斜率为 (A) (B) 0 (C) 1 (D) （5）设，为三阶非零矩阵，且，则 （A）时，必有. （B）时，必有. （C）时，必有. （D）时，必有 （6）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标概率为此人在四次射击中命中二次，且是连中的概率为 （A）（B）（C）（D） 设随机事件与成立则有（A）（B）（C）（D） 得分评卷人二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（9）极限.（10）已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为.（11）定积分 为正整数）的值为 .（12）幂级数在x=2处条件收敛，则其收敛域为.（13）二次型的正、负惯性指数分别为。（14）设随机变量的分布函数其中为常数.已知的数学期望则的方差三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.得分评卷人（15）（本题满分10分）已知，求.（16）（本题满分10分）设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.得分评卷人（17）（本题满分10分）设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。得分评卷人得分评卷人（18）（本题满分10分）设在上可导，并且，对于给定的，定义试证明：级数绝对收敛。得分评卷人（19）（本题满分10分）设函数在上连续，且满足方程, 求。（20）（本题满分11分）已知二次型，则（3） 求该二次型的矩阵和秩.（4） 当该二次型的秩为2时，求正交变换，把二次型化成标准形。得分评卷人得分评卷人（21）（本题满分11分）设为四维列向量，。已知的通解为 其中为对应齐次线性方程组的基础解系，为任意常数。令，试求的通解。得分评卷人（22）（本题满分11分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布，其中又设试求()与的概率密度与；() 与的协方差；() 与的相关系数.得分评卷人（23）（本题满分11分）设随机变量X的分布密度为，设来自总体X的简单随机样本，试求（）未知参数的矩估计量和最大似然估计量；（）验证，是否无偏估计。万学海文2010年考研数学模考班讲义 主讲 铁军铁军老师简介：著名考研数学辅导专家，近几年在沈阳、武汉、广州、上海、厦门等各大城市声名鹊起，成为与王式安、李永乐齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！ 2010年，考研竞争空前激烈！在考研征途的最后关头，北京万学海文集团邀请铁军老师亲临面授，与您携手并肩，您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！因为我们的自信，让您更加自信！第一部分 高等数学第一章 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。【考点一】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有， .【例1（数二、三）】极限.【详解】（1）原式=【考点二】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法： （1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限； （3）利用变量代换（通常是作倒代换，令） （4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。【记忆要点】常见的等价无穷小代换：当时，我们有：（1）sinxx (2)arcsinxx （3）tanxx (4)arctanxx (5) (6) (7) (8) (9) (10)() （11） （12）【例2（数一、二、三）】已知，求.【详解】= =38.【考点三】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用 无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设是同一过程下的两个无穷小，即。若若则称是比低阶的无穷小；若若则称与是等价无穷小。【例3（数一、二、三）】当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则 (A) 必有m=n (B) 必有 (C) 必有 （D）以上几种情况都有可能【详解】应选(B).由已知条件，可设 ，则. 若，则+是关于的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小，必有。故应选(B)。第二章 导数与微分导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法。【考点四】设二阶可导，则有：（1） 若为奇函数，则为偶函数，为奇函数，且。简单地说，可导的奇函数的导数为偶函数。（2） 若为偶函数，则为奇函数，为偶函数，且。简单地说，可导的偶函数的导数为奇函数。 （3） 可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数。也就是说，如果函数f(x)二阶可导，且有，则，。【例4（数二）】设函数具有二阶导数，并满足且若 则（ ）(A) (B) (C) (D) 【详解】应选(B)。由知，是周期为1的周期函数，而可导的周期函数的导函数仍为周期函数， 因而均是周期为1的周期函数。又为奇函数，故 ， ，且 又因 为偶函数，为奇函数，故，因此于是有 应选(B)。【考点五】（1）导数是特殊形式的极限，可把它看作是两种重要极限之外的第三种重要极限。（2）常用导数的定义求一些抽象函数构成的分式函数的极限，其思路是：先将分式函数的分子和分母化成下列标准形式，即 然后再用导数的定义求出未知极限。【例5】已知，则.【详解】由于题设只给出可导，故求极限时无法使用洛必达法则，只能应用导数定义进行计算。 = =.【考点六】（1）过曲线上的点的切线方程为 .特别地，若，则在点的切线方程为；若，则在点的切线方程为。 （2）过曲线上的点的法线方程为 .特别地，若，则在点的法线方程为；若，则在点的法线方程为。 （3）两条曲线相切包含两层含义： 两条曲线有公共的交点，即切点；两条曲线在公共切点处的导数相等，即切线的斜率相等。【例6】设周期函数f(x)在内可导，周期为4，又极限 ，则曲线y=f(x)在点处的法线斜率为 (A) (B) 0 (C) 1 (D) 【详解】应选(A). 因为，。所以，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，法线斜率为。由已知条件知，所以， 法线斜率为。第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握。【考点七】（1）根据拉格朗日中值定理有如下结论： 若在某一区间内恒有，则在该区间内必为常数。 若两个函数与在（a,b）内满足，则在（a,b）内。其中C为某常数。 （2）证明在区间上等于一个常数的程序： 证明在区间上恒有，则 . 取一点代入等式，求出常数的值.【例7】设单调增加，存在连续导数，与互为反函数. 证明： .【证明】设辅助函数 . 因为 ， 所以 . 又 ， 故 ，. 因此 .【考点八】反复多次综合应用中值定理证明问题，特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理相结合的题型非常重要。（1）证明在内存在，满足某种关系式的命题的程序： 在欲证的等式中，将和分离开来，即把包含的函数和包含的函数分别放在等式的两端. 选择等式的一端应用一次中值定理或介值定理得到，再对等式的另一端应用一次中值定理或介值定理得到.（1） 证明在内存在，且满足某种关系式的命题： 关键是通过零点定理、介值定理或其他条件，找出符合题意的分界点，将区间分成两个不相交的部分区间. 在和上分别应用中值定理进行证明即可.【例8】若在上连续，在内可导，且.证明：在内必存在，使 .【证明】设 ，则在上连续，且 ， 所以，根据闭区间上的零点定理知，至少存在一点，使 ，即 . 在和上分别应用拉格朗日中值定理，得 至少存在一点，使 ； 至少存在一点，使 .因此有 .【考点九】曲率（1）设M和N是曲线上不同的两点，弧的长为S，当M点沿曲线到达N点时，M点处的切线所转过的角为，则称极限为该曲线在点M处的曲率。（2）曲率计算公式若曲线方程为y=f(x)，则。若曲线由参数方程给出，则。（3）曲率半径。【例9】曲线在点处的曲率为.【详解】曲线的参数方程为 .则 ，将代入得 .【考点十】泰勒公式是沟通函数及其高阶导数之间的桥梁，是应用高阶导数的局部性质研究函数整体性态的重要工具。解题程序如下： （1）解题时，一旦决定应用泰勒公式，首先要选择一点，将函数f(x)在点处展开成泰勒公式。一般题设中会提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点，通常取为函数值为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中给出的其他特殊的点。 （2）然后将区间端点和分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相加或相减。如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，则继续取绝对值放大、缩小即可证明。【例10】设在的某邻域内具有二阶连续导数，曲线和具有相同凹凸性.证明曲线和在点处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当时，是比高阶的无穷小。【分析】本题可用泰勒展开式进行证明。把“相交”“相切”和“有相同的曲率圆”的数学式子列出来即能得证。【详解】先证必要性。 由已知曲线和在点处相交，相切，可知. 又由两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆，知和同号，且 ，从而.于是 .因此，当时，是比高阶的无穷小。 再证充分性. 由于，可知， 所以曲线和在点处相交。 又 可知 ，即， ，所以曲线和在点处相切。 利用泰勒公式 因此，所以两曲线在点处有相同的凹凸性和相同的曲率圆。【考点十一】解方程根的问题的主要方法是辅助函数法，将方程的根的问题转化为辅助函数的零点的问题。解题程序如下： （1） 移项或先作恒等变形后再移项，使方程的一端为零，另一端即可作为所求的辅助函数； （2）对求导，令，求出的可能极值点即驻点和不可导的点。用这些可能极值点将定义域划分为若干个部分子区间即单调子区间； （3）计算在每个单调子区间端点处的函数值，若端点处的函数值异号，则由零点定理知在该子区间上有且仅有一个零点；若端点处的函数值同号，该子区间上没有零点。 （4）重要结论：设函数在内严格单调且连续，若 或，且 或，则在内有且仅有一个零点。反之，若或，且或，则在内有且仅有一个零点。【例11】证明：方程内有且仅有3个实根，并指出它们各分布在哪几个互不相交的区间上。【详解】令 则。当时，和内严格单调减。又因为 ，所以内有且仅有一个零点，在（-1，1）内至少有一个零点。因为由于上严格单调，故上的零点个数最多不超过1个，由此知在上的零点个数最多不超过2个，在上的零点个数最多不超过3个，从而原方程共有3个实根，它们各分布在区间之内。【考点十二】求函数极值的方法主要有三种：1 根据判别极值的第一充分条件；2 根据判别极值的第二充分条件；3 根据极值的定义.求函数极值的程序： 1求函数的定义域； 2求导数，并求出所有可能极值点，即导数等于零的点即驻点和导数不存在的点； 3根据判别极值的第一充分条件判别这些可能极值点是否为极值点； 4当可能极值点中仅有驻点，二阶导数好求，且二阶导数在驻点处皆不为零时，可选用判别极值的第二充分条件判定； 5当两种判别法失效时，则采用根据极值的定义进行判别。【例12】设在上连续且单调减少，则在内 (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值 【详解】令，则时，且， ， 由积分中值定理得到：存在，使，于是 . 令，由闭区间上连续函数的零点定理知，必有。 当时，因单调减少，必有，从而；当时，有，故为的极大值点，因此应选(D).第五章 定积分及其应用定积分是一元函数微积分的集大成者，是历年考试的重点。定积分的应用题具有非常重要的复习价值，每年研究生考试至少有一张试卷要考察定积分的应用。【考点十三】计算周期函数的定积分的主要公式： 设是周期为的连续周期函数，为常数，则 为自然数.【例13】定积分 为正整数）的值为 .【详解】令，则 . 故 .【考点十四】用微分中值定理、积分中值定理和用作辅助函数的方法证明定积分的等式或不等式的解题思路如下： 1用微分中值定理 若被积函数在上连续，在内可导，欲证的等式或不等式中含有或，则常用微分中值定理进行证明。证明的关键是如何从题设的积分式引导出微分中值定理的条件。 2用积分中值定理 最常见的有如下两种情况： （1）题设条件中给出了积分中值定理的形式； （2）在证题过程中，要比较两个式子的大小，其中有一个式子中有定积分，通过积分中值定理可去掉积分号，从而进行比较。3用作辅助函数的方法证明定积分的等式或不等式 当被积函数连续时，可以考虑用设辅助函数的方法进行证明。解题程序如下：首先作辅助函数，将两端移到一端，另一端为0，并把欲证结论中的积分上限（常数或字母）换成，若式中有相同的常数或字母也换成，即得辅助函数；其次求导数，利用导数的符号判断的单调性。【例14】设f (x) , g(x)在a , b上连续，且满足，x a , b)，.证明：.【分析】本题主要考查积分不等式的证明，是一种新出现的考试题型，利用被积函数的不等式和分部积分运算加以证明。引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.【详解】令F(x) = f (x) - g(x)，由题设G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 . 因此 .【考点十五】（1）旋转体的体积：由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为（2）平行截面面积已知的立体体积：垂直于x轴的平面截立体所得的截面面积为（见图5），则的体积为 .【例15】设函数在上连续。若由曲线，直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为 试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解。【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为 或第六章 多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。【考点十六】1. 求偏导数时，只需将中的非视为常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则即可，类似地可求出表示先对求偏导，然后再对求偏导，其余类推。 2求复合函数的偏导数时，主要把握三点：（1） 关键问题是弄清复合函数的结构，分清中间变量与自变量。（2）避免丢项。一般地，函数有几个自变量就求几个偏导数；函数有几个中间变量，偏导数公式中就有几项的和；函数有几重复合，偏导数公式中就有几项因子的乘积。（3） 对于求抽象函数的偏导数。首先必须设出中间变量，构成复合函数，再利用复合函数求偏导数。【例16】对函数，在全平面上都有，.则下列条件中能保证的是（ ） (A) (B) (C) (D) 【详解】由 ，当固定时，对单调下降，故对时，有 ； 又由，当固定时，对单调上升，故对时，有 ；因此，当时，有 .应选(C).【例17】已知函数有二阶连续偏导数，且，又设是由确定的函数，求.【详解】 由于是由确定的函数，因此求与 等偏导数的运算都要利用隐函数的求导方法，要将y与z看作自变量。 将两边对y求偏导得 ，解得 ；同理，将两边对z求偏导得 .又 ；而 ，且 =.由已知条件得，=0.第七章 二重积分与三重积分本节考点的核心是二重积分和三重积分的计算，要熟练掌握。二重积分和三重积分计算的关键是化重积分为累次积分.【考点十七】在直角坐标系下计算二重积分的公式：【型区域】若，则.【型区域】若，则.【例18】交换积分次序 .【详解】.【考点十八】当积分区域D为圆域、环域或圆域的某部分。被积函数为等形式时，选用极坐标较为方便。在极坐标系下计算二重积分的公式：【极点在区域D内】，【极点在区域D外】，.【极点在区域D的边界上】，.【例19】设函数在上连续，且满足方程, 求。【详解】计算 因此。求导，得，即 .通解为 。在原方程中，令，得，代入通解中，定出。故所函数数为 。【例20】设，常数.则积分 的值（ ） (A) 为正 (B) 为负 (C) 为零 (D) 当时为正，当时为负【详解】应选(C) 为零。 化成直角坐标 因为积分区域 关于直线对称，所以 于是 因为被积函数关于是奇函数，并且积分区域 关于轴对称，所以 .【考点十九】三重积分的应用（1） 物体的重心坐标 设物体占有空间域在点处的密度为，假定上连续，则物体的重心坐标，其中，则形心坐标为 其中体积。【例21】求曲线AB：的方程，使曲线与两个坐标轴及过点（x,0）的垂直于x轴的直线所围成的曲边梯形，绕x轴旋转所形成的旋转体的形心（即重心）的横坐标等于【详解】旋转体的体积.由已知， ，故有 .两边对x求导得微分方程 ，因此得（C是任意常数）.第八章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【考点二十】形如的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当，然后左、右两端积分上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C为任意常数，的一个原函数，表示函数的一个原函数.【例22】若连续函数满足关系式，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）【详解】对所给关系式两边关于求导，得，且有初始条件. 于是，积分得，故 令应选（B）。【考点二十一】线性微分方程的概念和解的性质：1线性微分方程的概念形如的微分方程称为n阶线性微分方程，其中都是自变量x的函数。当都是常数时，又称方程为n阶线性常系数微分方程。若右端的函数恒为零时，则称方程为n阶线性齐次微分方程，否则称其为n阶线性非齐次微分方程。2线性微分方程解的性质齐次方程的叠加原理：若函数是线性齐次微分方程的两个解，是两个任意实数，则是线性微分方程的解。特别地，当就是线性齐次微分方程的解。3线性微分方程解的结构定义1 设 ，使得在I上恒成立，则称这n个函数在I上线性相关，否则称它们线性无关。特别地，两个函数在I上线性相关的充分必要条件是上成立。齐次方程的通解 若是线性齐次微分方程的n个线性无关解，则此微分方程的通解是其中个任意常数。【例23】已知，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为.【详解】与都是相应齐次方程的解, 也是齐次方程的解, 和是两个线性无关的齐次解; 而是非齐次方程的解.因此,该二阶线性非齐次微分方程的通解为. 求导得 在求导得 消去便得微分方程 .【考点二十二】伯努利（Bernoulli）方程（1）概念 形如的一阶微分方程称为伯努利方程，当n=0时，是一阶线性非齐次微分方程；当n=1时，是一阶线性齐次微分方程。（2） 解法 当时，引进新的未知函数则伯努利方程变为这是关于未知函数的一个一阶线性微分方程，然后用一阶线性微分方程的解法解之，解出后，再用代回，即可得伯努利方程的通解。【例24】伯努利方程的通解为.【详解】形如 的方程称为伯努利方程，其解法是固定的，方程两端同时除以，令，即令，则, 即 .原方程化为, 即.从而化为一阶线性非齐次微分方程。下面套用上述固定解法用同时除以方程两端，得 .令，则, .即,故 通解为。【考点二十三】向量的数量积、向量积与混合积（1）数量积（内积）定义：，若，则（2）向量的向量积（叉积、外积）：是一个向量，其模的夹角，其方向规定为与都垂直，且符合右手规则，用坐标作运算的公式为：.（3）混合积：三个向量的混合积（）是一个数，令（）=（4）向量的关系1平行向量的充要条件： 存在不同时为零的 2垂直 3三个向量共面的两个充要条件是： 混合积.【例25】已知单位向量，与z轴的夹角为钝角，又，则.【详解】令为，则.第九章 无穷级数无穷级数是高等数学的重要组成部分，是一种研究和表示函数的重要方法，是数学一和数学三的考试重点。【考点二十四】正项级数敛散性的判别法若级数满足，则称级数为正项级数。定理 1. 设为正项级数，则收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界。 2比较判别法 （1）比较判别法 设，那么，若收敛，则 也收敛；当发散时，则也发散。设存在常数，使得。那么若收敛，则也收敛，若发散，则也发散。 （2）比较判别法的极限形式 设与均为正常级数，那么，若则与同时收敛或同时发散；当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散；当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散。【常用于比较的级数】 （1）几何级数当时，级数收敛且；当时，级数发散。 （2）p-级数当p1时，级数收敛；当时，级数发散。 （3）调和级数发散。3比值判别法 设，且，那么，若，则级数 收敛；若，则级数发散；若，则该法失效。 4根值（柯西）判法 设，且，那么，若，则级数 收敛；若，则级数发散；若，则该法失效。【评注】比值与根值判别法中的条件都是充分但非必要条件。凡涉及级数命题有关论证，不能用比值或根值判别法，只能用比较判别法。5. 绝对收敛与条件收敛设为任意项级数。定义3. 若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数 收敛，而级数发散，则称条件收敛。 定理2. 若收敛，则必收敛【评注】若发散，且此结论是由比值判别法得出的，则 发散；若发散，且结论不是由比值判别法得出的，则应直接考虑的敛散性（这时，级数有可能为条件收敛）。【例26】下列命题中正确的是（ ）.(A) 设正项级数发散，则(B) 设收敛，则收敛. (C)设 ，至少一个发散，则发散（D）设收敛，则，均收敛.【详解】应选(C).（1） 对于正项级数，若，则发散，但反过来不一定成立。因而(A)不成立。如：（2） 若收敛，则收敛，但反过来不一定成立，因而(B)不成立。如：。（3） 若，均收敛，则收敛，但反过来不一定成立。因而( D)不成立。如：（4） 用反证法易证选项(C)正确。假设收敛，由于，且，故 ，均绝对收敛，与已知矛盾，故应选(C).【例27】设在上可导，并且，对于给定的，定义 试证明：级数绝对收敛。【证明】由拉格朗日中值定理，有 .因为，所以收敛，由比较判别法知收敛，从而级数绝对收敛。【考点二十五】定理：如果幂级数在某点处收敛，则在满足不等式的一切点处绝对收敛；如果幂级数在某点处发散，由在满足不等式的一切点处发散。 【评注】由上述定理可知，当幂级数在点处收敛，而在点发散时，必有，故必存在常数，使得。【例28】幂级数在x=2处条件收敛，则其收敛域为.【详解】根据收敛半径的定义，x=2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。又因为在x=0处，级数=条件收敛，因此应填0, 2.【考点二十六】1、幂级数的性质 若幂级数的收敛半径为，且和函数为则有（1）在内是连续函数；（2）在内可导，且； （3）在内可积，且2、级数求和有以下4种常见的基本题型,其中第四种题型最重要：（1）型。这是等比级数，用如下公式计算：（2）型。采用先积分后求导的方法求和。积分，得求导，得（3）型。采用先求导后积分的方法求和。求导，得积分，得 （4）上述三种基本题型的综合问题，这也是考研试题中最常见的题型。【例29】已知且对任何自然数.证明：当时，幂级数收敛，并求其和函数。【证明】由题设，当时，绝对收敛。设，则 =5+ =5+=5+，即 .解此一阶线性微分方程得 由条件，得，故.第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是定积分概念的推广，格林公式，高斯公式以及斯托克斯公式是牛顿-莱布尼茨公式的推广，在理论以及计算上有着重要的作用。每年考试本章均考大题，是复习备考的重点，也是难点。【考点二十七】1、对面积的曲面积分的计算公式：（1）设积分曲面：，且在面投影区域为，则（2）设积分曲面：，且在面投影区域为，则（3）设积分曲面：则2、两类曲面之间的关系其中处的法向量的方向余弦。3、利用投影法计算第二类曲面积分：令：取上侧，则 其中，则=（代入）若取下侧，则上式多一个负号。【例30】计算，其中为连续函数，S为平面在第四卦限部分的上侧.【详解】化为第一类曲面积分.因S的正法向量的方向余弦为