9 乘法公式1、配方法(师)

.乘法公式1：平方差、完全平方公式、配方法【知识要点】1. 平方差公式：（a+b）(a-b)=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。2. 平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意： 公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式。3完全平方公式：；即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式4完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（ab）2=a2b2这样的错误。公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。5公式的推广：；【典型例题】例1、如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形()，把剩下的部分拼成一个梯形，计算这两个图形面积，验证了公式_.例2、计算下列各题 （13） 例3.的值。例4、已知，比较三者大小 例5、 例6、计算 例7、1（a2b）2a2_4b2 2（3a5）29a225_3（2x_）2_4xyy2 4（3m2_）2_12m2n_5x2xy_（x_）2 649a2_81b2（_9b）27（2m3n）2_ 8（st2）2_94a24a3（2a1）2_ 10（ab）2（ab）2_11a2b2（a-b）2+_ 12（abc）2_例8、 已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。 （1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) (a-b)2 (4) a3+b3例9、 例10、已知，求和的值例11、 已知，求和的值【配方法】配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 等等。配方法的应用： （1）求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a20， 当a=0时，a2的值为0是最小值。对于二次三项式ax+bx+c的配方如下：提取二次项系数；配一次项系数一半的平方 （2）有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.（3）用于因式分解、解一元二次方程、二次根式化简、恒定变形、求最值等。例12、（1）已知是一个完全平方式，则=（ ）（2）运算结果是的是（ ）A、B、C、D、（3）若，则等于（ ）A、0B、C、D、（4）若（N为整数）是一个完全平方式，则N=（ ）A、6，-6B、12C、6D、12，-12例13、求下列代数式的最值.（1）a2+2a2 （2） x2+5x+1； （3）2x26x+1 . 例14、解下列方程：（1）x4x2+2xy+y2+1=0 ； （2）x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. （3）x2+y2+2x-4y+5=0解：（1）（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） (x21)2+(x+y)2=0.（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 或 （2） x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0.(x+y+3)2+(y1)20.（配方）（3）配方的可化为（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必须且只需. 解得例15、求下列方程的整数解（1）（2x-y2）2(x+y+2)2=5 （2）x2+y2-4x+10y+16=0 （3）x2-6x+y2+10y+25=0解：（1）（2）x2-4x+4+y2+10y+25=13 (添项)（x2）2+(y+5)213（配方）13折成两个整数的平方和，只能是9和4（3）（x-3）2+(y+5)2=9例16、 （1）已知，求、的值（2）若，为有理数，且，则 (3) 若，为有理数，且a-2ab+2b+4a+8=0，则ab=解（1）(ab-2ab+1)+(a-2ab+b) （2）(a-b)+(a+2)=0 (3) 2(a-2ab+2b+4a+8)=(a-2b)+(a+4)=0例17、已知多项式，求当、为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？例18、求多项式：的最小值 例19、求多项式：2x-4xy+5y-12y+13的最值 解 原式=2x-4xy+2y+3y-12y+13=2（x-2xy+y）+3（y-4y+4）+1变式：若2x-4xy+5y-12y+12=0，则xy=? 练 习一、选择题 1下列等式不成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 2下列各式中计算结果是的是（ ） A、 B、 C、 D、 3计算：的结果等于（ ） A、 B、 C、 D、 4若，则因式（ ） A、 B、 C、 D、 5要使等式成立，代数式M应是（ ） A、 B、 C、 D、 6要使成为一个两数和的完全平方式，则（ ） A、 B、 C、 D、二、填空题 1（ ）= 2- 3 = 4 5若则 三、解答题1计算： 2已知，求的值和的值4若，求的值5已知，求的值6已知、满足，求的值 7若，求；的值 8. 求2x2+10x+1的最大或最小值.9. 解下列方程：（1） (2) x2-4xy+5y2-6y+9=0 ；(3) 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.解（3）2(5x2+6xy+2y2-14x-8y+10)=( 9x2+12xy+4y2)+ x2-28x-16y+20=(3x+2y)-8(3x+2y)+16+ x2-4x+4=(3x+2y-4)+(x-2)=010.