《不变因子》PPT课件.ppt

2矩阵在初等变换下的标准形,3不变因子,1矩阵,4矩阵相似的条件,6若尔当(Jordan)标准形的理论推导,5初等因子,第八章矩阵,8.3不变因子,一、行列式因子,二、不变因子,8.3不变因子,8.3不变因子,1、定义,一、行列式因子,注意,级行列式因子（determinantdivisor）.,的首项系数为1的最大公因式称为的,中必有非零的级子式，中全部级子式,设矩阵的秩为，对于正整数，,若秩，则有个行列式因子.,8.3不变因子,各级行列式因子.,（1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的,（即初等变换不改变矩阵的秩与行列式因子）,2、有关结论,8.3不变因子,证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不变的,设经过一次初等变换变成，与,分别是与的k级行列式因子,下证，分三种情形：,8.3不变因子,此时的每个级子式,或者等于的某个级子式，,或者与的某个,因此，是的级子式的公因式.,1）,从而,级子式反号，,8.3不变因子,2）,或者等于的某个级子式，,此时的每个级子式,因此，是的级子式的公因式.,从而,或者等于,级子式的c倍.,的某个,8.3不变因子,此时中包含两行的和不包含,3）,级子式与中对应的级子式相等；,中包含行但不包含行的级子式，,按行分成的一个级子式与另一个级子式,的倍的和，,即为的两个级子式的组合，,行的那些,8.3不变因子,从而,因此是的级子式的公因式，,同理可得，,8.3不变因子,（2）若矩阵的标准形为,其中为首1多项式，且,则的级行列式因子为,8.3不变因子,证：与等价，,完全相同，则这个级子式为零.,在中，若一个级子式包含的行、列指标不,与有相同的秩与行列式因子.,级子式,所以只需考虑由行与列组成的,即,8.3不变因子,而这种级子式的最大公因式为,所以，的级行列式因子,8.3不变因子,证：设矩阵的标准形为,（3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.,其中为首1多项式，且,8.3不变因子,于是,即由的行列式因子所唯一确定.,由（2），的级行列式因子为,所以的标准形唯一.,8.3不变因子,（4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：,8.3不变因子,1、定义,二、不变因子,矩阵的标准形,称为的不变因子（invariantdivisor）.,的主对角线上的非零元素,8.3不变因子,（1）（定理5）矩阵、等价,、有相同的不变因子.,2、有关结论,、有相同的行列式因子.,8.3不变因子,有相同的标准形，,证：必要性显然.只证充分性.,所以与等价.,若与有相同的行列式因子，则,与也有相同的不变因子，,从而与,8.3不变因子,则，为一非零常数.,的第n个行列式因子,证：若可逆，,因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即,与等价.,（2）若的矩阵可逆，则的不变,8.3不变因子,又的n个行列式因子满足:,从而不变因子,所以，的标准形为,8.3不变因子,注意可逆与等价.,8.3不变因子,矩阵的乘积.,（3）（定理6）可逆可表成一些初等,证：可逆与等价,8.3不变因子,存在一个可逆矩阵与一个可逆,推论两个的矩阵、等价,矩阵，使,8.3不变因子,例1求矩阵的不变因子,解：的非零1级子式为:,8.3不变因子,的非零2级子式为:,8.