高等数学第八节函数的连续性

第八节函数的连续性,一、连续函数的概念,二、函数的间断点,三、连续函数的四则运算,四、反函数的连续性,五、复合函数的连续性,六.初等函数的连续性,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,1、连续性概念的增量形式,在某过程中,变量u的终值u2与它的,初值u1的差u2u1,称为变量u在u1处的,增量,记为u=u2u1.,定义,设函数f(x)在U(x0)内有定义,xU(x0),则称x=xx0为自变量x在x0点处的增量.,=f(x0+x)f(x0),y=f(x)f(x0),x,y,O,x0,x,x,y,y=f(x),此时,x=x0+x,相应地,函数在点x0点处,有增量y,连续性概念的增量形式,则称f(x)在点x0处连续.,设f(x)在U(x0)内有定义.若,定义,设f(x)在U(x0)内有定义,若,则称函数f(x)在点x0处是连续的.,2、函数连续性的定义(极限形式),函数的连续性是一个局部性的概念,是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：,函数y=x2在点x=0处是否连续?,函数y=x2在点x=0处连续.,又,且,y=x2在U(0)内有定义,解,3.函数的左、右连续性,设函数f(x)在x0,x0+)内有定义.若,则称f(x)在x0点处右连续.,设函数f(x)在(x0,x0内有定义.若,则称f(x)在x0点处左连续.,其中,为任意常数.,定义,定理,讨论y=|x|,x()在点x=0处,y=|x|在点x=0处连续.,x,y,y=|x|,O,的连续性.,解,讨论函数f(x)=,x2,x1,在x=1处的连续性.,函数f(x)在点x=1处不连续.,故函数f(x)在点x=1处是左连续的.,x+1,x1,但由于,解,4.函数在区间上的连续性,设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.,若x0(a,b),f(x)在点x0处连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续,记为,f(x)C(a,b).,定义,若f(x)C(a,b),且f(x)在x=a处,右连续,在端点x=b处左连续,则称函数,f(x)在闭区间a,b上连续,记为,f(x)C(a,b).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地,如果函数f(x)在区间I,上连续,则记为f(x)C(I).,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,现在有了连续性的概念,可把此结论表述为:,基本初等函数在其定义域内每点处均连续.即,基本初等函数在其定义域内是连续的.,二、函数的间断点,函数f(x)在点x0处连续,应该满足以下三点：,若函数在点满足下述三个条件中的任何一个,则称函数在点处间断,点称为函数,f(x)的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1)第一类间断点,若x0为函数f(x)的一个间断点,且,f(x)的第一类间断点.,则称x0为函数,定义,在x=0处的连续性.,y,x,O,1,y=sinx,yx+1,由图可知,函数在点x0处间断.,故x=0是f(x)的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点,称为函数的跳跃型间断点.,解,讨论,函数在x=1无定义,故x=1为函数的第一类间断点.,x=1为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),yx+1,进一步分析该间断点的特点.,解,补充定义,则函数f*(x)在x=1连续.,f*(x)=,2x=1,即定义,这种间断点称为可去间断点.,处函数值后,可得到一个新的连续函数,故将,在且相等,即极限存在,经过补充定义间断点,这个间断点的特点是该处的左、右极限存,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2)第二类间断点,凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在x=0无定义,x=0为函数的间断点,故x=0为函数,的第二类间断点.,解,在x=0处无定义,又,不存在,故x=0为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,回忆函数极限的四则运算,则,三、初等函数的连续性,1、连续函数的四则运算,设函数f(x)、g(x),fi(x)在点x0处连续,则,即,有限个在点x0处连续函数的和仍是一个在点x0处连续的函数.即,(2)有限个在点x0处连续的函数之积仍是一个在点x0处的连续函数.即,(3)两个在点x0处连续函数的商,当分母不为零时,仍是一个在点x0处连续函数.即,2、反函数的连续性,y=f1(x)的图形只是y=f(x)的图形绕直线y=x翻转180而成,故单调性、连续性仍保持.,设函数y=f(x)在区间I上严格单调增加,区间I*=y|y=f(x),xI上严格单调增加,(减少)且连续.,定理3,(反函数连续性定理),设函数u=(x)在点x0处连续,且,这个条件有必要吗？,定理,(复合函数连续性定理),3、复合函数的连续性,如果y=f(u)在u0处连续,则,当|uu0|时,有|f(u)f(u0)|,再假设u=(x),且在x0处连续,即,亦即,证明:,|uu0|=|(x)(x0)|,故对上面的,当|xx0|时,有,则,当|xx0|时,|uu0|=|(x)(x0)|,且有（假设可以构成复合函数）,|f(u)f(u0)|f(x)f(x0)|,u=cosx1是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D=x|x=2k,kZ,每一点均不连续.,在上述定理的条件下,在上述定理的条件下,极限符号可与连续函数符号交换顺序.,推论1,设函数u=(x)的极限存在：,函数y=f(u)在点u=a处连续.,复合函数f(x)当xx0时的极限存在,且,若复合函数f(x)在,内有定义,则,推论2,求,解,利用复合函数的连续性推论求极限,求,y=lnu在其定义域内连续,故,（y=lnu在u=1处连续）,解,4.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,利用初等函数和反函数连续性求极限,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,故f(x)在内连续.,例15讨