高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.2综合法与分析法新人教A选修4_5

.,二综合法与分析法,.,【自主预习】1.综合法一般地,从_出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.,已知条件,.,2.分析法证明命题时,从_出发,逐步寻求使它成立的_,直至所需条件为_(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种_的思考和证明方法.,要证的结论,充分条件,已知条件或一个明显成,立的事实,执果索因,.,【即时小测】1.关于综合法和分析法说法错误的是()A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法,.,【解析】选D.根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法;根据分析法的定义得,分析法是执果索因法,是逆推证法.,.,2.下列对命题“函数f(x)=x+是奇函数”的证明不是综合法的是()A.xR且x0有f(-x)=(-x)+=-f(x),所以f(x)是奇函数B.xR且x0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数,.,C.xR且x0,因为f(x)0,所以所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2,f(-1)=-f(1),所以f(x)是奇函数,.,【解析】选D.A,B,C都是从已知条件出发,利用奇函数定义,得出结论的,都是综合法;D不是综合法证明.,.,3.要证a2+b2-1-a2b20,只需证()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0,.,【解析】选D.因为a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)=-(a2-1)(b2-1),故要证a2+b2-1-a2b20,只需证(a2-1)(b2-1)0.,.,【知识探究】探究点综合法与分析法1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的?提示:综合法:AB1B2BnB(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论).,.,分析法:BB1B2BnA(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知).,.,2.如何理解分析法寻找的是充分条件?提示:用分析法证明,其叙述格式是:要证明A,只需证明B.即说明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件.分析法体现了数学中“正难则反”的原则,也是思维中的逆向思维.逆求(不是逆推)结论成立的充分条件.,.,【归纳总结】1.综合法和分析法的比较(1)相同点:都是直接证明.(2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;分析法:执果索因,利于思考,易于探索.,.,2.证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程.,.,类型一用综合法证明不等式【典例】(2016大连高二检测)已知a,b,c均为正实数,且(1)证明:(2)求证:,.,【解题探究】要证明该题,根据题目的形式,你联想到利用哪个公式解决?提示:根据题目给出的形式,可根据基本不等式求证.,.,【证明】(1)由a,b,c均为正实数,且可得相加可得,.,即有当且仅当a=b=c=取得等号.故原不等式成立.,.,(2)由a,b,c均为正实数,且可得相加可得即有原不等式成立.,.,【方法技巧】综合法证明不等式的策略(1)综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.,.,(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个:a20(aR);(a-b)20(a,bR),其变形有a2+b22ab,ab,a2+b2(a+b)2;若a,b为正实数,则特别2;a2+b2+c2ab+bc+ca.,.,(3)在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在运用这些性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.,.,【变式训练】(2015绥化高二检测)已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.,.,【证明】因为ab,所以a-b0,所以a2-2ab+b20,所以a2-ab+b2ab.而a,b均为正数,所以a+b0,所以(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),所以a3+b3a2b+ab2成立.,.,【补偿训练】已知a,b,cR+,且互不相等,且abc=1,求证:【证明】因为a,b,cR+,且互不相等,且abc=1,所以所以,.,类型二用分析法证明不等式【典例】1.(2016聊城高二检测)已知a,b,m都是正数,并且abc,且a+b+c=0,求证:(1)b2-ac0.(2),.,【解题探究】1.典例1用分析法证明的关键是什么?提示:a,b,m都是正数,要证成立,只需证明b(a+m)a(b+m)成立,所以关键是证明b(a+m)a(b+m)成立.,.,2.典例2(2)中证明的关键是什么?提示:证明的关键是对式子两端平方后,能得到显然成立的条件.,.,【证明】1.a,b,m都是正数,要证成立,只需证b(a+m)a(b+m)成立,即证ba+bmab+am,即证bmam,即证ba,而abc且a+b+c=0,所以a0,c0.(2)欲证只需证b2-ac0.因为abc,所以(a-b)(a-c)0成立,从而成立.,.,【延伸探究】1.若将典例2中条件改为“ab0”,求证:,.,【证明】要证原不等式成立,只需证即证因为ab0,所以只需证即,.,只需证因为ab0,所以成立.所以原不等式成立.,.,2.典例2条件改为设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:ab+bc+ac.,.,【证明】由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,得a2+b2+c2ab+bc+ca由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.,.,【方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点(1)思路:分析法的思索路线是“执果索因”,即从要证的不等式出发,不断地用充分条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止.,.,(2)注意点:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语.,.,【变式训练】1.当x4时,证明:【证明】欲证只需证即证,.,展开整理,得只需证(x-1)(x-4)(x-2)(x-3),即x2-5x+4x2-5x+6,即46,显然成立.所以原不等式成立.,.,2.若a,b,c均为正数,求证:【证明】要证只要证只要证,.,只要证(a+b+c)因为(a+b+c)所以原不等式成立.,.,自我纠错用分析法证明不等式【典例】已知a,b(0,+),且a+b=1,求证:,.,【失误案例】,.,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明思路.正确解答过程如下:,.,【证明】要证成立,只需证明成立,即只需证明1,即即只需证明ab成立,.,由a,b(0,+),且a+b=1,知ab显然成立,于是2成立,不等式得证.,2020/5/12,.,49,编后语,同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。一、听理科课重在理解基本概念和规律数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。二、听文科课要注重在理解中记忆文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否