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文档简介

.,定积分的概念,.,a,b,原型（求曲边梯形的面积）,一、抽象定积分概念现实原型,.,面积怎么求？,元素法,.,利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可,概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.,将曲边梯形的底，即a,b进行分割(用垂直于x轴的直线).,第一步分割；,曲边梯形的面积的解决思路：,.,取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.,第二步取近似；,用矩形面积近似小曲边梯形面积,典型小区域面积,.,第三步求和；,矩形面积和与曲边梯形面积不相等,有误差,将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.,.,第四步取极限.,当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.,.,.,二、定积分的定义,定义,以直代曲,求和,.,积分上限,积分下限,取极限,.,注意：,.,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,.,几何意义,.,例1,解,.,.,定理,三、定积分的性质,定理,.,补充：不论的相对位置如何,上式总成立.,定理（积分区间的可加性）,.,定理,.,对定积分的补充规定:,.,.,定理（保序性）,推论（保号性）,.,定理（有界性）,.,例2,解,.,.,定理（绝对值不等式）,用保序性证得,.,定理（积分中值定理）,积分中值公式的几何解释,.,定积分的计算,.,定积分计算,如何计算定积分？,定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.,根据几何意义，图不好画,.,定理,牛顿-莱布尼茨公式,微积分基本定理,.,微积分基本公式表明：,求定积分问题转化为求原函数的问题,注意,.,例1求,解,提示与分析：,先看成不定积分问题，求出原函数.,.,例2,例如,.,.,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,第一换元法,.,.,考虑,到底该令哪个式子为u,.,.,一定要换积分上、下限,.,第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:,.,.,解,例4计算,.,说明:,使用第一换元法的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论形式不同.,.,例5计算,解一,提示与分析：,用凑微分法求解.,解二,.,解三,.,第一类换元法,难求,易求,第二换元积分法,第二类换元法,难求,易求,.,定积分的第二换元积分法,.,应用换元公式时要注意:,.,第二换元法,.,例7计算,解令,如何去掉根式？,三角代换,.,.,.,解,例8计算,.,解,例
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