概率论与数理统计第2章ppt课件

第二章随机变量与概率分布,1随机变量2离散型随机变量的概率分布3随机变量的分布函数4连续型随机变量的概率密度5随机变量函数的分布,.,1随机变量,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如:掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从北京下火车的人数；,昆虫的产卵数；,.,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,在掷硬币试验E1中,引入变量：,X,1出正面,0出反面,在摸球试验E3中,引入变量：Y为取出的白球数.,1.定义:随机试验E的样本空间为e,若对于每个e,有唯一实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在上的实的单值函数X(e),称其为：随机变量.,e1,e2,e3,e4,X(e1),X(e2),X(e3),X(e4),.,随机变量所取值一般用小写字母x,y,z等表示.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母、等表示,引入随机变量，使得现代数学工具进入概率统计。从而使概率统计有了飞速发展。,例1.设盒中有其中2白、3黑5个球,从中随便抽取3个球,则“抽得的白球数”X是个随机变量.“抽得的黑球数”Y也是随机变量。,事件：取到2白、1黑X=2=Y=1,3.用随机变量取值表示事件：,2.随机变量与一般函数的区别,.,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满满一个或几个区间.,非离散型随机变量,非离散型非连续型,.,2.离散型随机变量及其概率分布,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为：,例1,且,.,其中(k=1,2,)满足：,（2）,这两条性质判断某函数是否是概率分布,一.离散型随机变量概率分布定义,.,二、表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,X,例2.汽车通过4盏信号灯才能到达目的地，设汽车在每盏信号灯处通过的概率为0.6求：(1).汽车首次停车通过的信号灯数X的概率分布。(2).半路停车次数Y的概率分布。(3).半路最多停一次车的概率。,PXk=,(0.6)k0.4；k=0、1、2、3。,(0.6)k；k=4,解：X的概率分布：,Y的概率分布：,k=0、1、2、3、4。,PY=k=,P半路最多停一次车=PY1PY=0+PY=1,=(0.6)4+,2.几个常见离散型随机变量的概率分布,(1).二项分布,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为n、p的二项分布.其中q=1p,记为:Xb(n、p),实例：一批产品中次品率为p，有放回取n次，每次取1个，取出的次品数Xb(n,p).,背景：只有两个可能结果的试验称为Bernoulli试验.,其样本空间为A、A；,0PA=p0。则对任一非负整数k有：,其中：npn.,例3.某人打靶命中率为0.001,重复射击5000次，求至少命中2次的概率。,解：设X为至命中次数。,P(X2)=1P(X60,即PX20,3随机变量的分布函数,1.分布函数定义:,F(x)=PXx，(-x+)为X的分布函数.,x,设X是随机变量,称函数：,对于任意两点x1、x2:,P(x1Xx2)=F(x2)F(x1),.,分布函数的性质,(1)F(x)非降，即若x1x2，则F(x1)F(x2);,(2)F()=F(x)=0,(3)F(x)右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,F()=F(x)=1,例4.3个人抓阄决定取一物。第X人抓到有物之阄。求X的概率分布及其分布函数。,解：,PX=1=1/3,PX=2=2/31/2=1/3,PX=3=2/31/21/1=1/3,X的概率分布:,X的分布函数:,F(x)=,0 x1,1/31x2,2/32x3,13x,1,2,3,1,2/3,1/3,X,Y,离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在xi处的跳跃高度恰为PX=xi.,0,4.连续型随机变量的概率密度,1.定义：对于随机变量X的分布函F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：,则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称密度函数。,密度函数的性质：,(1).f(x)0;,(4).连续型随机变量X对于任意实数a,PX=a=0,Px11,解:(1)由分布函数性质：F()=0,F(+)=1,解得：a=1/2b=1/,X的密度为:f(x)=F(x)=,(-0.1=?X的分布函数。,解(1).,解得：k=3,0.7408,(3).,当x0时：F(x)=0,当x0时：,.,（1）若r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,XU(a,b),背景：r.vX在区间(a,b)上取值，并且在(a,b)中任意小区间G取值的概率仅与G的长度成正比,与G的位置无关.则X服从(a,b)上均匀分布.,2.几个常见的连续型随机变量,例7.某人睡醒后，发现表停了。打开收音机对表(假设收音机只正点报时)。求他等待时间不超过10分钟的概率。,解：设X为他等待的时间，,X的密度函数为：,00)年，求再使用a年的概率。,X的密度函数为：,解：,PXa=,=a,PXa+t/Xt=,=,=a,两概率相同此性质称为无记忆性,.,(3)、正态分布的定义及图形特点,若r.vX的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布.,.,正态分布的密度函数图形特点,(1)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.,(3).在x=处取最大值。,(4).越大越平缓，越小越陡峭。,.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布的图形特点,.,.,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用和表示：,.,定理1：,书末的标准正态分布函数数值表，可解决正态分布的概率计算.,表中给的是x0时,(x)的值.,.,若,N(0,1),若XN(0,1),例9.设电源电压UN(220,625)(单位:V)，通常有3种状态；.不超过200V；.在200240之间；.超过240V。在上述3状态,某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。求:,(1).元件损坏的概率。(2).在元件损坏情况下，分析电压所处状态。,UN(220,625),PA1=(,200220,25,),=0.2119,=1(0.8),考虑到对称性PA3=PA1=0.2119,解：设Ai为电压处在i状态。i=1,2,3设B为元件损坏；,P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3),=0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2,0.0642,PA1/B=,P(A1)P(B/A1),P(B),0.330,类似：PA2/B0.009;PA2/B0.660,所以电器损坏时,电压处在高压状态可能性最大,而处在(200240)可能性很小,几乎是不会的。,PA2=120.2119=0.5762,.,例10.某大型设备在t时间内发生故障次数N(t)服从参数为t的Poisson分布，T表示相邻两次故障之间的时间间隔；求：(1).T的密度函数。(2).1次故障修复后无故障运行8小时的概率。(3).设备已无故障工作t0小时，再无故障工作8小时的概率。,解：(1)先求T的分布函数。,当tt0+8/Tt0=8,.,例2公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为hcm,按设计要求,P(Xh)0.01,或P(X0.99,所以=2.33,即h=170+13.98184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3准则,.,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.,.,解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,5随机变量函数的分布,1.离散型随机变量函数的分布,.,如果g(xk)中有一些相同,把它们适当并项即可.,一般，若X是离散型r.v，X的概率函数为,则Y=X2的概率函数为：,例11.已知随机变量X的概率分布为：,X012345,P1/121/61/31/122/91/9,求：Y(X2)2的概率分布。,X012345,P1/121/61/31/122/91/9,解：,Y410149,故Y的概率分布为：,Y0149,P1/31/411/361/9,.,二、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为FY(y)，,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函数,.,故,注意到0x4时，,即8y0时,注意到Y=X20，故当y0时，,解：设Y和X的分布函数分别为和，,.,若,则Y=X2的概率密度为：,.,例4设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当y0时,当y1时,因为：当,时,故,解：,.,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）,当0y1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,证明:Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.若RU(0,1),则F-1(R)的分布函数为F(x).,.,对0y1,G(y)=P(Yy),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数：,求导得Y的密度函数：,可见,Y服从0，1上的均匀分布.,.,(2)设：F-1(R)的分布函数为F2(x),则,F2(x)=PF-1(R)x,=PRF(x),=FRF(x),=F(x),因为：RU(0,1),所以：R的分布函数为：,又因为：,F(x)0,1,则F-1(R)的分布函数为F(x).,.,本例的结论给出构造分布函数为F(x)的随机数的方法：取U(0,1)随机数i(i=1,2,)令:i=F-1(i)，则i(i=1,2,)就是F(x)随机数，若1,2,相互独立,则1,2,也相互独立。,.,其中，x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理:设X是一个取值于区间a,b，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,证明：(只证明g(x)0的情况),g(x)0恒成立，g(x)在(-,)上严格单调减。,先求Y的分布函数：,当y时，FY(y)=0,当y时，FY(y)=1,当y0(或恒有(ax+b)0)；ax+b的值域为(-,+),ax+b的反函数为:,yb,a,yb,a,;(,)=,1,a,X的密度函数：,-x+,YaX+b的密度：,-y+,即：YaX+bN(a+b，(a)2),.,例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理得,注意取绝对值,.,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,例13.设电压VAsin,其中A是正常数，相角为随机变量,在区间(-/2,/2)上服从均匀分布,求电压的概率密度。,解：vAsin,的密度为：,V的密度：g(v)=,在(-/2,/2)上v=Acos保号,例14.点随机落在中心在原点,半径为R的圆周上,且对弧长均匀分布,求落点横坐标X的概率密度。,则：Z的