空间向量在立体几将3何中的应用很好很好

,3.2立体几何中的向量方法法向量,直线的方向向量：,一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量。*.一条直线的方向向量有无数多个。*.空间中任意一条直线 的位置可以一个定点以及一个定方向（方向向量）确定.,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的 法向量.,给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,平面的法向量：,注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量(无限多个)都互相平行;3.向量 是平面的法向量， 向量 是与平面平行或在平面内，则有,问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？,求法向量的步骤：,7,空间向量应用在立体几何证明中的应用,平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。,1、已知b，a不在内，如果ab，则a。,2、如果a， a，则。,3、如果ab， a，则b。,4、如果a， b， ab，则。,一、 用空间向量处理“平行”问题,l,M,N,例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG平面CBE.,P,o,z,y,证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1,于是平面A1BD平面CB1D1,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,同理可得平面CB1D1的法向量为,则显然有,通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。,例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH平面BDGF,故得平面AEH平面BDGF,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF的法向量为,求得平面BDGH的法向量为,显然有,故 平面AEH平面BDGF,二、 用空间向量处理“垂直”问题,l,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系,例：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。求证:面AEF面ACF。,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,x,z,y,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设 a =2，则A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0），E（ 3，1，2） ，F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则,x,nAE=3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y= -2z,令z=1得, n=（0，-2，1）,显然有m n=0，即，mn,面AEF面ACF,证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ，,利用向量解决 空间角问题,数量积：,夹角公式：,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,小结,例一：,所以 与 所成角的余弦值为,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,思考：,结论：,例二：,在长方体 中，,练习1：,的棱长为1.,正方体,二面角的范围：,关键：观察二面角的范围,设平面,解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则 C(0,0,0),故,由于 ,所以,设面 的一个法向量为,练习2:,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,空间向量之应用,利用空间向量求距离,a,l,a,A,B,B1,A1,a,n,P,A,O,M,N,方法指导：若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面的距离公式为,一、求点到平面的距离,如何用向量法求点到平面的距离：,例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,D,A,B,C,G,F,E,例1,练习1:,S,B,C,D,A,例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。,D,A,B,C,G,F,E,二、求直线与平面间距离,正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,练习3:,G,例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,三、求平面与平面间距离,练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。,B,A,a,M,N,n,a,b,四、求异面直线的距离,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,例4,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。,A,B,D,C,A1,B1,C1,D1,x,y,z,练习5,练习6:如图,A,S,C,D,B,结论1,a,n,P,A,O,M,N,结论2,B,A,a,M,N,n,a,b,小结：,1、怎样利用向量求距离？,点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。,点到直线的距离：求出